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高三年级阶段性教学质量检测
数学试题（理科）
（120分钟 150分） 2012.01
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合P={1，2，3，4}，集合={3，4，5} ，全集U=R，则集合
A. {1，2} B. {3，4} C. {1} D. {-2，-1，0，1，2}
2．在直角坐标系中，直线的倾斜角是
A． B． C． D．
3．已知为奇函数，在上是增函数，上的最大值为8，最小值为—1，则
等于
A． B． C． D．
4．已知直线⊥平面α，直线平面β，给出下列命题：
①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥m α⊥β ④l⊥mα∥β
其中正确命题的序号是
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ②④
5．已知，，，（且），在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是
A B C D
6．一等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值为
A. B. C. D.
7．已知则的值等于
A. B. C. D.-
8．如图所示是以建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷
一遍，若每平方米用漆0.2kg，则共需油漆大约公斤数为
（尺寸如图所示，单位：米 π取3）
A. 20 B. 22.2 C . 111 D. 110
9．抛物线的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为
A. B. C. 2 D.
10．已知a.b∈R，那么 “” 是“ ab+1＞a+b”的
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
11．在圆内，过点（，）有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差为d∈[，]，那么n的取值集合为
A. {4,5,6,7} B. {4,5,6} C. {3,4,5,6} D. { 3.4.5,6,7}
12．设x, y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a.>0,b>0)，最大值为12，则 的最小值为
A. B. C. 5 D. 4
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.
13．已知则常数=_________.
14．已知函数，则不等式的解集为
15．已知点在内，，
设则_______.
16．已知为上的偶函数，对任意都有且当，
时，有>0成立，给出四个命题：
① ② 直线是函数的图像的一条对称轴
③ 函数在上为增函数 ④ 函数在上有四个零点
其中所有正确命题的序号为______________
三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
设.
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位，得的图象，
求在处的切线方程.
18．(本小题满分12分)
如图所示，在棱锥中， 平面，
底面为直角梯形，且//，，
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
19．(本小题满分12分)
已知二次函数，若对任意，恒有成立，不等式的解集为
(Ⅰ)求集合；
(Ⅱ)设集合，若集合是集合的子集，求的取值范围
20．(本小题满分12分)
已知数列的前n项和为，.
(Ⅰ)求数列的通项;
(Ⅱ)设的前项和为，证明:＜.
21．(本小题满分12分)
若椭圆: 和椭圆: 满足,则称这两个椭圆相似，是相似比.
(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程；
(Ⅱ)设过原点的一条射线分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于、点（点在线段上）.
①若是线段上的一点，若，，成等比数列，求点的轨迹方程;
②求的最大值和最小值.
22．(本小题满分14分)
设函数.
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得
成立，试问：正整数是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.
高三年级阶段性教学质量检测
数学试题(理科) 2013.01
参考答案
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.
ADACB DDBDC AB
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.
13. 1 14. 15． 16.①②④
三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
解:（Ⅰ）, …………３分
故f(x)的最小正周期, ………………………………………………4分
由
得f(x)的单调递增区间为.……………６分
（Ⅱ）由题意：, ……………………８分
,
, ……………………………………１０分
因此切线斜率,
切点坐标为，
故所求切线方程为,
即. …………………………………………………１２分
18．(本小题满分12分)
解:（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=，
取AB中点Ｅ，连接ＣＥ，
则四边形ＡＥＣＤ为正方形， ……………………………………２分
ＡＥ＝ＣＥ＝２，又ＢＥ＝，
则为等腰直角三角形，
， ……………………………………………………４分
又平面ＡＢＣＤ，平面，
，由得平面ＰＡＣ，
平面ＰＡＣ，所以. ……………………………………６分
（Ⅱ）以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为轴，
建立如图所示的坐标系.则，B（０,４,０），
C（２,２,０），
……9分
由（Ⅰ）知即为平面PAC的一个法向量，
,……11分
即PB与平面PAC所成角的正弦值为. ……………………………１２分
19．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)对任意，
有……………………３分
要使上式恒成立，所以
由是二次函数知故……………………4分
由
所以不等式的解集为……………………6分
(Ⅱ)解得，……………………8分
………………………………………………１０分
解得……………………………１2分
20．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ) , …………２分
……………………………４分
……………………………6分
（Ⅱ）,
………………………………………………8分
相减得，,……………………………１０分
﹤. ……………………………12分
21．(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设与相似的椭圆的方程.
则有 ……………………………3分
解得.
所求方程是. ……………………………4分
(Ⅱ) ① 当射线的斜率不存在时,
设点P坐标P(0,,则,.即P(0,). ………………5分
当射线的斜率存在时，设其方程,P(
由,则
得
同理 ………………………7分
又点P在上，则，且由,
即所求方程是.
又(0,)适合方程,
故所求椭圆的方程是. ………………9分
②由①可知,当的斜率不存在时，,当的斜率存在时,,
, ………………11分
综上,的最大值是8,最小值是4. ………………12分
22．(本小题满分14分)
解:(I)函数的定义域为. …………………………１分
当时，，∴.…………………２分
由得.
，随变化如下表:
0
极小值
由上表可知，，没有极大值. …………………………４分
（II）由题意，.
令得，. ………………………６分
若，由得；由得. …………７分
若，
① 当时，，或，；
，.
②当时，.
③当时，，或，；，.
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；
当时，函数的单调减区间是,
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为.
…………………………１０分
(Ⅲ) 当时，，.
∵，∴.
∴，. …………………………１２分
由题意，恒成立.
令，且在上单调递增，
，因此，而是正整数，故，
所以，时，存在，时，对所有满足题意.
∴. …………………………………１４分
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