山东省济宁市鱼台一中2013届高三1月模拟考试（期末）数学（理）试题.doc

鱼台一中2012—2013学年高三1月模拟考试数学（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数z=i2(1+i)的虚部为（ ）
A. 1 B. i C. -1 D. – i
2．已知等比数列{}的前n项和，则…等于（　）
A．　 　B． 　　C．　　　　D．
3.已知＋＝1,(x＞0,y＞0)，则x＋y的最小值为( )
A.12 B.14 C.16 D.18
4．函数的零点所在区间为( )
A．（3,+∞） B．（2,3） C．（1,2） D．（0,1）
5．已知，向量与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ）
A. 2 B. +1 C. D. 1
7．已知等差数列的前项和为，且，则( )
A． B． C． D．
8．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的解析式为( )
A． B．
C． D.
9．已知是所在平面内一点，为边中点，且，则( )
A． B． C． D．

10.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像 （ ） [来
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
11.已知函数，若且，则的取值范围( )
A. B. C. D.
12.已知，把数列的各项排列成如右图所示的三角形状， 记表示第行的第个数，则=( )
A. B.   
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.把正方形沿对角线折成直二面角，则与平面所成角为 ，
14.若实数满足，则的最大值是 .
15.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
16.设m、n,是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
①若，，则；
②若；
③若；
④若.
其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都写上)
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知，且，，求：（1） （2）实数的值. 

18．（本小题满分12分）
如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，
A
B
F
C
C1
E
A1
B1
侧面是菱形，，E、F分别是、AB的中点．
求证：（1）EF∥平面；
（2）平面CEF⊥平面ABC．

19．（本小题满分12分）
设分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,)到F1，F2两点的距离之和等于4.
⑴写出椭圆C的方程和焦点坐标；
⑵过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程;
⑶过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程.

20．（本小题满分13分）已知函数f(x)=alnx+bx,且f(1)= -1，f′(1)=0，
⑴求f(x)；
⑵求f(x)的最大值；
⑶若x>0,y>0,证明：lnx+lny≤.

21.（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

22．(本小题满分12分)已知函数，
（1）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案:
1-5 CDDBA 6-10 BACBC 11-12 CB
14. 2 15. 16. ①④
17.解：（1）依题意
（2）由 得 ∴
即方程的解是 9分
于是，，
∴
18．证明：（1）取BC中点M，连结FM，．
在△ABC中，因为F，M分别为BA，BC的中点，
所以FM AC．
因为E为的中点，AC ，
所以FM ． 从而四边形为平行四边形，
所以．   
又因为平面，平面，
所以EF∥平面．
（2） 在平面内，作，O为垂足．
因为∠，所以
，
从而O为AC的中点．
所以，
因而．
因为侧面⊥底面ABC，交线为AC，，所以底面ABC．
所以底面ABC．
又因为平面EFC，
所以平面CEF⊥平面ABC．
19.⑴椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；
又点A(1,) 在椭圆上，因此得b2=1，于是c2=3；
所以椭圆C的方程为，
⑵∵P在椭圆内，∴直线DE与椭圆相交，
∴设D(x1,y1),E(x2,y2)，代入椭圆C的方程得 
x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得2(x1-x2)+4×2×(y1-y2)=0,∴斜率为k=-1
∴DE方程为y-1= -1(x-),即4x+4y=5;
(3)直线MN不与y轴垂直，∴设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得
（m2+4)y2+2my-3=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-, y1y2=-,且△>0成立.
又S△OMN=|y1-y2|=×=，设t=≥,则S△OMN=,(t+)′=1-t-2>0对t≥恒成立，∴t=时t+取得最小，S△OMN最大，
此时m=0,∴MN方程为x=1
20.⑴由b= f(1)= -1, f′(1)=a+b=0, ∴a=1,∴f(x)=lnx-x为所求；
⑵∵x>0,f′(x)=-1=,
x
0<x<1
x=1
x>1
f′(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘

∴f(x)在x=1处取得极大值-1，即所求最大值为-1；
⑶由⑵得lnx≤x-1恒成立，
∴lnx+lny=+≤+=成立
21.（1）解：因为，所以，[来源:Z|xx|k.Com]
函数的图像在点处的切线方程；
（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增．
因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．zxxk  
当，即，当，即，…13分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．故整数的最大值是3．
22.解：（1）依题意：在（0,+）上是增函数，
对∈（0,+）恒成立，
，则 的取值范围是.

（2）设点P、Q的坐标是
则点M、N的横坐标为
C1在点M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则
即 则

设则
，
点R不存在.