考点跟踪训练24矩形.doc

考点跟踪训练24　矩形、菱形和正方形
一、选择题
1．(2011·滨州)如图，在一张△ABC纸片中， ∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　一定能拼成的是邻边不等的矩形、等腰梯形、有一个角为锐角的菱形．
2．(2011·衢州)衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形，若测得∠FAG＝110°，则∠FBD＝(　　)

A．35° B．40° C．55° D．70°
答案　C
解析　在△ABC中，AB＝AC，∠FAG＝110°，
∴∠ABC＝＝35°.
又∵∠DBC＝90°，
∴∠FBD＝180°－∠ABC－∠DBC＝55°.
3．(2011·绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是(　　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
答案　D
解析　矩形的对角线相等且互相平分．

4．(2011·兰州)如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为(　　)

A．16 B．17 C．18 D．19
答案　B

解析　如图，S1占三角形面积的，
∴S1＝×＝9；
S2占三角形面积的，
∴S2＝×＝8；
所以S1＋S2＝9＋8＝17.

5．(2011·重庆)如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3.其中正确结论的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　经过折叠，有△ADE≌△AFE，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴△ABG≌△AFG；设BG＝FG＝x，则CG＝6－x，EG＝2＋x，EC＝4，由勾股定理，得(2＋x)2＝42＋(6－x)2，解之，得x＝3，所以CG＝BG＝3；画FH⊥GC于H，△GFH∽△GEC，有＝＝，＝＝，∴FH＝，GH＝.在Rt△CFH中，tan∠FCG＝＝＝2，在Rt△ABG中，tan∠AGB＝＝2，∴∠FCG＝∠AGB，∴AG∥CF；S△FGC＝GC·FH＝×3×＝≠3；
故结论①、②、③正确．
二、填空题
6．(2011·黄冈)如图：矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为________．

答案　28
解析　在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝8，所以AB＝6，故五个小矩形的周长之和等于矩形ABCD的周长28.

7．(2011·南京)如图，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为________cm2.

答案　2
解析　在Rt△ADF中，AD＝2，AE＝AB＝1，所以DE＝，S菱形ABCD＝AB·DE＝2×＝2 cm2.

8．(2011·绵阳)如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为__________cm.

答案　2
解析　因为折叠，设DF＝D′F＝x，则FC＝8－x，D′C＝AD＝4，在Rt△D′FC中，由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2，解之，得x＝3.连接AC交EF于点O，由折叠得∠FOC＝90°，在Rt△FCO中，CO＝AC＝×＝2 ，所以EO＝＝，EF＝2EO＝2 .
9．(2011·广东)如图1，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)；以此下去……，则正方形A4B4C4D4的面积为______________．

答案　625
解析　因为正方形ABCD的面积为1，所以AB＝1，AB1＝2，正方形A1B1C1D1的面积等于12＋22＝5；同理，正方形A2B2C2D2的面积等于()2＋(2 )2＝25；正方形A3B3C3D3的面积等于52＋102＝125；正方形A4B4C4D4的面积等于(5 )2＋(10 )2＝625.
10．(2011·德州)长为1，宽为a的矩形纸片(<a<1)，如图1那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作)；再把剩下的矩形如图2那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作)；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为____________．

答案　或
解析　由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1－a，所以第二次操作时正方形的边长为1－a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1－a,2a－1.此时，分两种情况：
①如果1－a＞2a－1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a－1.
则2a－1＝(1－a)－(2a－1)，解得a＝；
②如果1－a＜2a－1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1－a.
则1－a＝(2a－1)－(1－a)，解得a＝.
故答案为或.
三、解答题
11．(2011·广州)如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF.
求证：△ACE≌△ACF.

解　证明：∵ AC是菱形ABCD的对角线，
∴ ∠CAE＝∠CAF.
在△ACE和△ACF中，
AE＝AF，∠CAE＝∠CAF，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.

12．(2011·衢州)如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC.
(1)求证：AD＝EC；
(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形；
(3)在(2)的条件下，若AB＝AO，求tan∠OAD的值．
解　(1)解法一：
证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE＝BD.
又∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴AE∥CD，且AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴AD＝CE.
解法二：
证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，∠B＝∠EDC.
∴AB＝DE.
又∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
∴△ABD≌△EDC(SAS)．
∴AD＝EC.
(2)解法一：
证明：∵∠BAC＝Rt∠，AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD.
又∵由(1)得四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形．
解法二：
证明：∵DE∥AB，∠BAC＝Rt∠，
∴DE⊥AC.
又∵由(1)得四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形．
解法三：
证明：∵∠BAC＝Rt∠，AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD＝CD.
又∵AD＝EC，
∴AD＝CD＝CE＝AE.
∴四边形ADCE是菱形．
(3)解法一：
解：∵四边形ADCE是菱形，
∴AO＝CO，∠AOD＝90°.
又∵BD＝CD，
∴OB是△ABC的中位线，则OD＝AB.
∵AB＝AO，
∴OD＝AO.
∴在Rt△AOD中，tan∠OAD＝＝.
解法二：
解：∵四边形ADCE是菱形，
∴AO＝CO＝AC，AD＝CD，∠AOD＝90°.
∵AB＝AO，
∴AB＝AC.
∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝.
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA.
∴tan∠OAD＝tan∠ACB＝.

13．(2011·南京)如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F.
(1)求证：△ABF≌△ECF；
(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形．

解　(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠ABF＝∠ECF.
∵EC＝DC, ∴AB＝EC.
在△ABF和△ECF中，
∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，
∴△ABF≌△ECF.
(2)解法一：∵AB＝CD＝EC ，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴AF＝EF, BF＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D.
又∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC.

∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，
∴∠ABF＝∠BAF.
∴FA＝FB.
∴FA＝FE＝FB＝FC,
∴AE＝BC.∴▱ABEC是矩形．
解法二：∵AB＝EC ，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE.
又∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠BCE.
∵∠AFC＝∠FCE＋∠FEC，
∴∠FCE＝∠FEC.
∴∠D＝∠FEC.∴AE＝AD.
又∵CE＝DC，
∴AC⊥DE.即∠ACE＝90°.
∴▱ABEC是矩形.

14．(2011·宁波)如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．

解　(1)证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝DC，BE＝AB，
∴DF∥BE，DF＝BE.
∴四边形DEBF为平行四边形．
∴DE∥BF.
(2)证明： ∵AG∥BD，
∴∠G＝∠DBC＝90°.
∴△DBC为直角三角形．
又∵F为边CD的中点，
∴BF＝CD＝DF.
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．