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大学中常用不等式,放缩技巧
一： 一些重要恒等式
ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6
ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina
ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)
ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 　tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)
ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）
二 重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)
2：伯努利不等式
（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)
3：柯西不等式
(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi2
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)
(a+b)p≥ap+ bp (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi
若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn
∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi
三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；
2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
3：n！<【(n+1/2)】n
4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1
5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n
6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x
7：(2/∏)x≤sinx≤x
8:均值不等式我不说了（绝对的重点）
9：（1+1/n）n<4
四：一些重要极限
(书上有，但这些重要极限需熟背如流)