最短路径问题.ppt.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,最短路径问题,如图所示，从,A,地到,B,地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,两点在一条直线异侧,已知：如图，,A,，,B,在直线,L,的两侧，在,L,上求一点,P,，使得,PA+PB,最小。,P,连接,AB,线段,AB,与直线,L,的交点,P,，就是所求。,为什么这样做就能得到最短距离呢？,如图，要在燃气管道,L,上修建一个泵站，分别向,A,、,B,两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,P,所以泵站建在点,P,可使输气管线最短,应用,问题,1,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题,：,从图中的,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,探索新知,B,A,l,这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将,A,，,B,两地抽象为两个点，将河,l,抽象为一条直 线,探索新知,B,A,l,你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？,（,1,）从,A,地出发，到河边,l,饮马，然后到,B,地；,（,2,）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与,A,，,B,连接起来的两条线段的长度之和，就是从,A,地到饮马地点，再回到,B,地的路程之和；,探索新知,现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线,l,上的点设,C,为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小（如图）,B,A,l,C,作法：,（,1,）作点,B,关于直线,l,的对称,点,B,；,（,2,）连接,AB,，与直线,l,相交,于点,C,则点,C,即为所求,探索新知,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,B,C,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,（与点,C,不,重合），连接,AC,，,BC,，,B,C,由轴对称的性质知，,BC,=,B,C,，,BC,=,B,C,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,=,AB,，,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,在,ABC,中，,AB,AC+BC,，,AC+BC,AC+BC,即,AC+BC,最短,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,探索新知,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的,过程、借助什么解决问题的？,B,l,A,B,C,C,问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区,A,、,B,提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从,A,、,B,到它的距离之和最短,练习,已知：如图,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小,.,B,C,D,E,分析：,当,AB,、,BC,和,AC,三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小,已知：如图,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小,.,分别作点,A,关于,OM,，,ON,的对称点,A,，,A,；连接,A,，,A,，分别交,OM,，,ON,于点,B,、点,C,，则点,B,、点,C,即为所求,3.,某班举行晚会，桌子摆成两直条,(,如图中的,AO,，,BO),，,AO,桌面上摆满了桔子，,OB,桌面上摆满了糖果，坐在,C,处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？,作法：,1.,作点,C,关于直线,OA,的 对称点点,D,2.,作点,C,关于直线,OB,的对称点点,E,3,.,连接,DE,分别交直线,OA.OB,于点,M.N,，,则,CM+MN+CN,最短,A,O,B,.,.,E,D,M,N,G,H,如图：,C,为马厩，,D,为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。,作法：,1.,作点,C,关于直线,OA,的 对称点点,F,2.,作点,D,关于直线,OB,的对称点点,E,3,.,连接,EF,分别交直线,OA.OB,于点,G.H,，,则,CG+GH+DH,最短,F,A,O,B,D,C,E,G,H,A,B,A,/,B,/,P,Q,最短路线：,A P Q B,l,M,N,证明：在直线,OA,上另外任取一点,G,，连接,点,F,点,C,关于直线,OA,对称，点,G.M,在,OA,上，,GF=GC,FM=CM,同理,HD=HE,，,ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形,EFGH,中，,FG+GH+HE,FE,（两点之间，线段最短），,即,CG+GH+HD,CM+MN+ND,即,CM+MN+ND,最短,F,A,O,B,D,C,E,M,N,G,H,如图，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,，桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）,A,B,M,N,a,b,你能证明一下如果在不同于,MN,的位置造桥,M,/,N,/,，距离是怎样的，能证明我们的做法,AM+MN+NB,的和是最短距离吗？试一下。,A,B,M,N,a,b,A,A,B,M,N,a,b,A,M,N,证明,:,取不同于,M,，,N,的另外两点,M,/,，,N,/,由于,M,/,N,/,=MN=AA,/,；,由平移的性质可知：,AM=A,/,N,AM,/,=A,/,N,/,又根据,“,两点之间，线段最短,”,可知,A,/,N,/,+N,/,BA,/,B,所以，,AM,/,+N,/,B,AM+NB,所以，,AM,/,+N,/,B+M,/,N,/,AM+NB+MN.,如何在四边形,ABCD,内取一点,O,，使得点,O,到四边形四个顶点的距离和最小。,