等腰三角形中的分类求解.doc

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等腰三角形中的分类求解
等腰三角形是一类较特殊的三角形，它的三边分为两类：腰与底；三角也分为两类：顶角与底角.因此在解答有关等腰三角形的问题时，如果题目中没有明确指出是哪条边、哪个角的情况下，常常需要分类求解，以防漏解.下面以各地中考试题为例说明如下.
一、边不确定分类求解
例1已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A　9 B　12 C　9或12 D　5

分析：已知两边长为2和5，长度不等，因此这两边长必是腰长与底长，但题中没有指出何为腰、何为底，因此分类求解.
（1）当腰长为2，底边长为5时，则等腰三角形的三边长为2、2、5，由于2＋2＜5，它们不能构成三角形，舍去.
（2）当腰长为5，底边长为2时，则等腰三角形的三边长为5、5、2，由于2＋5＞5，它们能构成三角形，所以周长为5＋5＋2＝12.
解：选B.

二、内角不确定分类求解
例2已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A　20° B　120° C　20°或120° D　36°

分析：已知等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，因此这两角必为底角与顶角，但题中没有明确指出何为底角、何为顶角，故需分类求解.
（1）当顶角与底角的度数之比为1∶4时，设顶角为，则底角为，于是有＝180°，解得＝20°，即顶角为20°.
（2）当底角与顶角的度数之比为1∶4时，设底角为，则顶角为，于是有＝180°，解得＝30°，所以＝120°，即顶角为120°.
解：选C.

三、外角不确定分类求解
例3一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为__________.

分析：已知的等腰三角形的一个外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需分类求解.
（1）当已知外角为顶角的外角时，则顶角为180°－110°＝70°，于是底角为(180°－70°)÷2＝55°，这时等腰三角形的三个角为70°、55°、55°.
（2）当已知外角为底角的外角时，则底角为180°－110°＝70°，于是顶角为180°－70°×2＝40°，这时等腰三角形的三个角为70°、70°、40°.
解：填70°、55°、55°或70°、70°、40°.

四、图形不确定分类求解
例4若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（　　）
A　32.5° B　57.5° C　65°或57.5° D　32.5°或57.5°

分析：在等腰三角形中，腰上的高可能在其内部，也可能在其外部，故分类求解.
A
B
C
D
图1
（1）当腰上的高在等腰三角形的内部时，如图1，BD是腰AC上的高，则由题意得∠ABD＝25°，所以顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，于是底角为(180°－65°)÷2＝57.5°.

（2）当腰上的高在等腰三角形的外部时，如图2，BD是腰AC上的高，则由题意得∠ABD＝25°，所以∠DAB＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°.因为∠DAB＝∠ABC＋∠C，∠ABC＝∠C，所以∠ABC＝∠C＝65°÷2＝32.5°.
A
B
C
D
图2
解：选D.

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