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九章算術提要
九章算術九卷，不詳作者名氏。九章算術是一部現在有傳本的、最古老的中國數學書，它的編纂年代大約是在東漢初期。書中收集了二百四十六個應用問題的解法，分別隸屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、句股九章。
春秋、戰國時期社會生產力的逐漸提高，促進了數學知識和計算技能的發展。當時各國的統治階級要按畝收稅，必須有測量土地、計算面積的方法；要儲備糧食，必須有計算倉庫容積的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必須能計算工程人功；要修訂一個適合農業生產的曆法，必須能運用有關的天文數據。那時的百姓掌握了相當豐富的、由日常生活中產生的數學知識和計算技能。雖然沒有一本先秦的數學書流傳到後世，但無可懷疑的是九章算術方田、粟米、衰分、少廣、商功等章中的題解方法，絕大部分是產生於秦以前的。漢書藝文志術數類著錄有許商算術二十六卷，杜忠算術十六卷，這兩部算術雖早已失傳，應該是東漢初編纂的九章算術的前身，它們的主要教材應當被保存於九章算術各章之內。
周禮大司徒篇說：「保氏掌諫王惡而養國子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數。」這是說，主持貴族子弟教育的保氏以禮、樂、射、馭、書、數為「
小學」的六門課程，每一門課程又各有若干細目，例如「數」學中有九個細目。但在周禮裏沒有把「九數」列舉出來，我們就無法考證它的內容。漢武帝時這部周禮開始受到經學家的注意。到東漢時期，鄭眾、馬融等都為「九數」作了注解。東漢末鄭玄周禮注引鄭眾說：「
九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要，今有重差、句股。」事實上，鄭眾所說「九數」中的「均輸」已是漢武帝太初元年以後的賦稅制度，決不是周禮九數原有的一個細目。「方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要」大概是西漢末傳統算術的主要綱目，「今有重差、句股」說明數學有了新的發展。傳本九章算術將句股代替旁要，它的編纂年代當在鄭眾注周禮「九數」（約公元五０年）之後。後漢書馬援傳說，馬續「善九章算術」。馬續是馬援的侄孫，馬融（公元七九--一六六年）之兄，他的生年約在公元七０年前後。馬續研究九章算術大概在公元九０年前後。根據上述史料，我們認為九章算術的編定年代是在公元第一世紀的後半個世紀，而各章的主要內容在第一世紀初期已具備了一定的成就。
九章算術不但對後世的數學著作奠定了優良的傳統，對世界數學的發展也有著重要的貢獻。現在小學算術課程中的分數四則，各種比例，面積和體積，以及各類應用問題的解法，在九章算術方田、粟米、衰分、商功、均輸、盈不足等章裏已有了相當詳備的內容。現在中學課程中的代數部分，如開平方、開立方、正負數、聯立一次方程組、二次方程等項目，在少廣、方程、句股章裏亦已有了卓越的成就。
傳本九章算術有劉徽注和唐李淳風等的注釋。劉徽是我國古代傑出的數學家。他為九章算術作注解，又自撰重差一卷附於九章算術九卷之後，故隋書經籍志著錄「九章算術十卷，劉徽撰」。經籍志又錄有「九章重差圖一卷，劉徽撰」，當是十卷本的附圖，可惜早已亡佚。九章算術方田章圓田術注和商功章圓困術注中都論及「晉武庫中有漢時王莽所作銅斛」。隋書律曆志論歷代量制引商功章注，說「魏陳留王景元四年（公元二六三年）劉徽注九章」。我們根據這些資料，認為劉徽是魏、晉時人。他的生平履歷無可詳考。
劉徽九章算術注自序說：「又所析理以辭，解體用圖。庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。」這是說，問題解法的理論分析，要用明確的語言表達出來；空間形體的具體分解，要用幾何圖形顯示出來。這樣纔能做到又簡又明，啟發讀者的思考。他在注中一方面整理九章算術各個問題的解法，理論上屬於一類的使它們歸於一類，提綱挈領地闡明所以能解的道理。在另一方面，對於原來所有不夠準確的近似計算，他提出了更精確的計算方法。例如九章算術原術取用三為圓周率，他通過了圓內接正三百八十四邊形和正三千零七十二邊形面積的嚴密計算，得到圓周率的近似值，五十分之一百五十七，或一千二百五十分之三千九百二十七。又如開平方或開立方不盡時（平方根或立方根為無理數），原有以分數表示奇零部分的方法不甚準確，他主張繼續開方，得出以十進分數表示平方根或立方根的近似值。此外，他創立許多新的解題方法，例如盈不足章第十九題的等差級數求和法，方程章第七題的互乘相消法，第九題的消去常數項法，句股章第十六題的內切圓徑公式等等，都比原術簡便。
唐李淳風等對劉徽注本九章算術作了一些解釋，原有劉注意義十分明確的不再補注，盈不足、方程二章就沒有他們的注釋。九章算術所有與圓面積有關的問題，都取圓周率三計算，劉徽注以為應取五十分之一百五十七，李淳風等補注認為可以用七分之二十二計算，這是對的。但七分之二十二是祖沖之的所謂「約率」，而李淳風等引用此率，稱它為「密率」。後世人誤認七分之二十二為「密率」的很多，這是李注的謬種流傳。少廣章開立圓術，李淳風等注釋引祖?之說，介紹球體積公式的理論基礎。綴術書失傳後，祖沖之父子對於球體積的研究，幸有李淳風等的徵引而得流傳到現在。
劉、李注本九章算術到北宋仁宗時有賈憲所撰的細草，原書早已失傳，但永樂大典中保存楊輝所引的賈憲開方法是非常寶貴的數學史料。南宋末有楊輝詳解九章算法十二卷（一二六一），現在僅存商功、均輸、盈不足、方程、句股五章和「九章算法纂類」。楊輝鈔錄的九章算術本文和劉、李二家注文有很多脫誤，但也有可據以對校永樂大典本的文字。清嘉慶初年李潢撰九章算術細草圖說九卷，有校勘、有補圖、有詳草、有說明，發揮九章算術劉徽注的原意，對於讀者是大有裨益的。
版本與校勘
劉、李注本九章算術在宋代有北宋元豐七年（公元一０八四年）秘書省刻本和南宋嘉定年鮑澣之刻本。明代永樂大典依據九章名義分類抄錄，到清朝初年並未散佚。明代留心古典數學的人很少，九章算術非但沒有新的刻本，連宋代遺留下來的舊書也漸次散佚。清初南京黃虞稷家中有南宋刻本九章算術，僅存方田、粟米、衰分、少廣、商功五章。一六七八年梅文鼎到南京應鄉試時曾到黃家翻閱過。這個殘本九章算術於乾隆中為曲阜孔繼涵所得，嘉慶中為陽城張敦仁所得，今存上海圖書館。常熟毛扆於一六八四年向黃家借鈔得一影宋鈔本。這個影宋的殘本九章算術於乾隆中轉入清宮，作為天祿琳琅閣藏書，今存故宮博物院。一九三二年故宮博物院把它影印為天祿琳琅叢書的一種。
乾隆三十八年（一七七三）開四庫全書館，婺源戴震充四庫全書纂修及分校官。次年，戴震從永樂大典中抄集九章算術九卷，並且做了一番校勘工作。四庫全書本和武英殿聚珍版本九章算術都有戴震的校訂文字和補圖。商務印書館刊行的叢書集成本是依據武英殿本排印的。
戴震的兒女親家孔繼涵刻微波榭本算經十書，其中九章算術九卷採用戴震的校定本。戴震校正的文字，顛撲不破的果然不少，但也有些地方，他師心自用，把原本不錯的文字改掉，後來的讀者很容易被他蒙蔽而引起誤會。所以作為一個善本書看，微波榭本的參考價值是遠不如武英殿本的。微波榭本九章算術卷九的最後一頁上題稱「大清乾隆三十八年癸巳秋闕里孔氏依汲古閣影宋刻本重雕」，書的底本和刻書年代都有問題，顯然是不足徵信的。此後依據微波榭本翻刻的九章算術有常熟屈曾發的重刻本、南昌梅啟照的算經十書本和商務印書館的萬有文庫本、四部叢刊本等等。
嘉慶年鍾祥李潢撰九章算術細草圖說，用微波榭本作底本，校正了很多錯誤文字。戴震所謂「舛誤不可通」而無法校訂的文句，經過李潢校訂後，一般都能文從字順容易理解了。但碰到戴震誤改原文的地方，他就沒有能夠糾正過來。方程章最後一題的劉徽注中，敘述了兩個「新術」的演算程序，文字冗長，數字繁瑣，舊刻本的訛文奪字很多，不容易整理。李潢的友人戴敦元和李銳各代為校正一術。李潢就照錄他們的校定稿作為細草圖說的一部分。又，均輸章第八題答數、術文和李淳風等的注文俱有訛字，李潢未能訂正，沈欽裴於李潢死後算校編輯付刻時代為校正。
為了要恢復唐代立於學官的劉、李注本九章算術，我根據天祿琳琅叢書本和宜稼堂本楊輝詳解九章算法所引，重加校訂，寫出了校勘記四百六十餘條。戴震、李潢二家所校定的文字認為是正確的，於校勘記中聲明他們的開辟草萊的功績。也有各本俱誤而各家漏校或誤校的文字，只能憑個人意見，擅自校改，但在校勘記中保留各本原有的異文衍字。商功章陽馬術和句股章容圓術的劉徽注中各有意義難於理解而不能句讀的文字，無法校訂，只能付之缺疑。
劉徽九章算術注原序
昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術以合六爻之變。暨於黃帝神而化之，引而伸之，於是建曆紀，協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱隸首作數，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，九數之流，則九章是矣。
往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。
徽幼習九章，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦者，知發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方。至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。
周官大司徒職，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中。說云，南戴日下萬五千里。夫云爾者，以術推之。按九章立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差，句股則必以重差為率，故曰重差也。立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之景。以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筩南望日，日滿筩空，則定筩之長短以為股率，以筩徑為句率，日去人之數為大股，大股之句即日徑也。雖天圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之於志，以闡世術之美。輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴於句股之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入。博物君子，詳而覽焉。
九章算術卷第一
方田
〔一〕今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？
荅曰：一畝。
〔二〕又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？
荅曰：一百六十八步。
方田術曰：廣從步數相乘得積步。
以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。
〔三〕今有田廣一里，從一里。問為田幾何？
荅曰：三頃七十五畝。
〔四〕又有田廣二里，從三里。問為田幾何？
荅曰：二十二頃五十畝。
里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。
〔五〕今有十八分之十二。問約之得幾何？
荅曰：三分之二。
〔六〕又有九十一分之四十九。問約之得幾何？
荅曰：十三分之七。
約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。
〔七〕今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？
荅曰：十五分之十一。
〔八〕又有三分之二，七分之四，九分之五。問合之得幾何？
荅曰：得一、六十三分之五十。
〔九〕又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問合之得幾何？
荅曰：得二、六十分之四十三。
合分術曰：母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一。不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。
〔一０〕今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？
荅曰：四十五分之三十一。
〔一一〕又有四分之三，減其三分之一。問餘幾何？
荅曰：十二分之五。
減分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一。
〔一二〕今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？多幾何？
荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。
〔一三〕又有九分之八，七分之六。問孰多？多幾何？
荅曰：九分之八多，多六十三分之二。
〔一四〕又有二十一分之八，五十分之十七。問孰多？多幾何？
荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
課分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一，即相多也。
〔一五〕今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？
荅曰：減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。
〔一六〕又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？
荅曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。
平分術曰：母互乘子，副并為平實，母相乘為法。以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法，以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少，以法命平實，各得其平。
〔一七〕今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？
荅曰：人得一錢、二十一分錢之四。
〔一八〕又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問人得幾何？
荅曰：人得二錢、八分錢之一。
經分術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。
〔一九〕今有田廣七分步之四，從五分步之三。問為田幾何？
荅曰：三十五分步之十二。
〔二０〕又有田廣九分步之七，從十一分步之九。問為田幾何？
荅曰：十一分步之七。
〔二一〕又有田廣五分步之四，從九分步之五，問為田幾何？
荅曰：九分步之四。
乘分術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。
〔二二〕今有田廣三步、三分步之一，從五步、五分步之二。問為田幾何？
荅曰：十八步。
〔二三〕又有田廣七步、四分步之三，從十五步、九分步之五。問為田幾何？
荅曰：一百二十步、九分步之五。
〔二四〕又有田廣十八步、七分步之五，從二十三步、十一分步之六。問為田幾何？
荅曰：一畝二百步、十一分步之七。
大廣田術曰：分母各乘其全，分子從之，相乘為實。分母相乘為法。實如法而一。
〔二五〕今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田幾何？
荅曰：一百二十六步。
〔二六〕又有圭田廣五步、二分步之一，從八步、三分步之二。問為田幾何？
荅曰：二十三步、六分步之五。
術曰：半廣以乘正從。
〔二七〕今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問為田幾何？
荅曰：九畝一百四十四步。
〔二八〕又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問為田幾何？
荅曰：二十三畝七十步。
術曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并，畝法而一。
〔二九〕今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問為田幾何？
荅曰：一畝一百三十五步。
〔三０〕又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問為田幾何？
荅曰：四十六畝二百三十二步半。
術曰：并踵舌而半之，以乘正從。畝法而一。
〔三一〕今有圓田，周三十步，徑十步。問為田幾何？
荅曰：七十五步。
〔三二〕又有圓田，周一百八十一步，徑六十步、三分步之一。問為田幾何？
荅曰：十一畝九十步、十二分步之一。
術曰：半周半徑相乘得積步。
又術曰：周徑相乘，四而一。
又術曰：徑自相乘，三之，四而一。
又術曰：周自相乘，十二而一。
〔三三〕今有宛田，下周三十步，徑十六步。問為田幾何？
荅曰：一百二十步。
〔三四〕又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問為田幾何？
荅曰：五畝六十二步、四分步之一。
術曰：以徑乘周，四而一。
〔三五〕今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？
荅曰：一畝九十七步半。
〔三六〕又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。問為田幾何？
荅曰：二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。
術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
〔三七〕今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問為田幾何？
荅曰：二畝五十五步。
〔三八〕又有環田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，徑十二步、三分步之二。問為田幾何？
荅曰：四畝一百五十六步、四分步之一。
術曰：并中外周而半之，以徑乘之為積步。
密率術曰：置中外周步數，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，內分子。以中周減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周為實。分母相乘為法，除之為積步，餘積步之分。以畝法除之，即畝數也。
九章算術卷第二
粟米
粟米之法：
粟率五十 糲米三十
粺米二十七 鑿米二十四
御米二十一 小 十三半
大五十四 糲飯七十五
粺飯五十四 鑿飯四十八
御飯四十二 菽、荅、麻、麥各四十五
稻六十 豉六十三
飧九十 熟菽一百三半
櫱一百七十五
今有術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一。
〔一〕今有粟一斗，欲為糲米。問得幾何？
荅曰：為糲米六升。
術曰：以粟求糲米，三之，五而一。
〔二〕今有粟二斗一升，欲為粺米。問得幾何？
荅曰：為粺米一斗一升、五十分升之十七。
術曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。
〔三〕今有粟四斗五升，欲為鑿米。問得幾何？
荅曰：為鑿米二斗一升、五分升之三。
術曰：以粟求鑿米，十二之，二十五而一。
〔四〕今有粟七斗九升，欲為御米。問得幾何？
荅曰：為御米三斗三升、五十分升之九。
術曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。
〔五〕今有粟一斗，欲為小。問得幾何？
荅曰：為小二升、一十分升之七。
術曰：以粟求小，二十七之，百而一。
〔六〕今有粟九斗八升，欲為大。問得幾何？
荅曰：為大一十斗五升、二十五分升之二十一。
術曰：以粟求大，二十七之，二十五而一。
〔七〕今有粟二斗三升，欲為糲飯。問得幾何？
荅曰：為糲飯三斗四升半。
術曰：以粟求糲飯，三之，二而一。
〔八〕今有粟三斗六升，欲為粺飯。問得幾何？
荅曰：為粺飯三斗八升、二十五分升之二十二。
術曰：以粟求粺飯，二十七之，二十五而一。
〔九〕今有粟八斗六升，欲為鑿飯。問得幾何？
荅曰：為鑿飯八斗二升、二十五分升之一十四。
術曰：以粟求鑿飯，二十四之，二十五而一。
〔一０〕今有粟九斗八升，欲為御飯。問得幾何？
荅曰：為御飯八斗二升、二十五分升之八。
術曰：以粟求御飯，二十一之，二十五而一。
〔一一〕今有粟三斗少半升，欲為菽。問得幾何？
荅曰：為菽二斗七升、一十分升之三。
〔一二〕今有粟四斗一升、太半升，欲為荅。問得幾何？
荅曰：為荅三斗七升半。
〔一三〕今有粟五斗、太半升，欲為麻。問得幾何？
荅曰：為麻四斗五升、五分升之三。
〔一四〕今有粟一十斗八升、五分升之二，欲為麥。問得幾何？
荅曰：為麥九斗七升、二十五分升之一十四。
術曰：以粟求菽、荅、麻、麥，皆九之，十而一。
〔一五〕今有粟七斗五升、七分升之四，欲為稻。問得幾何？
荅曰：為稻九斗、三十五分升之二十四。
術曰：以粟求稻，六之，五而一。
〔一六〕今有粟七斗八升，欲為豉。問得幾何？
荅曰：為豉九斗八升、二十五分升之七。
術曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。
〔一七〕今有粟五斗五升，欲為飧。問得幾何？
荅曰：為飧九斗九升。
術曰：以粟求飧，九之，五而一。
〔一八〕今有粟四斗，欲為熟菽。問得幾何？
荅曰：為熟菽八斗二升、五分升之四。
術曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。
〔一九〕今有粟二斗，欲為櫱。問得幾何？
荅曰：為櫱七斗。
術曰：以粟求櫱，七之，二而一。
〔二０〕今有糲米十五斗五升、五分升之二，欲為粟。問得幾何？
荅曰：為粟二十五斗九升。
術曰：以糲米求粟，五之，三而一。
〔二一〕今有粺米二斗，欲為粟。問得幾何？
荅曰：為粟三斗七升、二十七分升之一。
術曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。
〔二二〕今有鑿米三斗、少半升，欲為粟。問得幾何？
荅曰：為粟六斗三升、三十六分升之七。
術曰：以鑿米求粟，二十五之，十三而一。
〔二三〕今有御米十四斗，欲為粟。問得幾何？
荅曰：為粟三十三斗三升、少半升。
術曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。
〔二四〕今有稻一十二斗六升、一十五分升之一十四，欲為粟。問得幾何？
荅曰：為粟一十斗五升、九分升之七。
術曰：以稻求粟，五之，六而一。
〔二五〕今有糲米一十九斗二升、七分升之一，欲為粺米。問得幾何？
荅曰：為粺米一十七斗二升、一十四分升之一十三。
術曰：以糲米求粺米，九之，十而一。
〔二六〕今有糲米六斗四升、五分升之三，欲為糲飯。問得幾何？
荅曰：為糲飯一十六斗一升半。
術曰：以糲米求糲飯，五之，二而一。
〔二七〕今有糲飯七斗六升、七分升之四，欲為飧。問得幾何？
荅曰：為飧九斗一升、三十五分升之三十一。
術曰：以糲飯求飧，六之，五而一。
〔二八〕今有菽一斗，欲為熟菽。問得幾何？
荅曰：為熟菽二斗三升。
術曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。
〔二九〕今有菽二斗，欲為豉。問得幾何？
荅曰：為豉二斗八升。
術曰：以菽求豉，七之，五而一。
〔三０〕今有麥八斗六升、七分升之三，欲為小，問得幾何？
荅曰：為小二斗五升、一十四分升之一十三。
術曰：以麥求小，三之，十而一。
〔三一〕今有麥一斗，欲為大。問得幾何？
荅曰：為大一斗二升。
術曰：以麥求大，六之，五而一。
〔三二〕今有出錢一百六十，買瓴甓十八枚。問枚幾何？
荅曰：一枚，八錢、九分錢之八。
〔三三〕今有出錢一萬三千五百，買竹二千三百五十箇。問箇幾何？
荅曰：一箇，五錢、四十七分錢之三十五。
經率術曰：以所買率為法，所出錢數為實，實如法得一錢。
〔三四〕今有出錢五千七百八十五，買漆一斛六斗七升、太半升。欲斗率之，問斗幾何。
荅曰：一斗，三百四十五錢、五百三分錢之一十五。
〔三五〕今有出錢七百二十，買縑一匹二丈一尺。欲丈率之，問丈幾何？
荅曰：一丈，一百一十八錢、六十一分錢之二。
〔三六〕今有出錢二千三百七十，買布九匹二丈七尺。欲匹率之，問匹幾何？
荅曰：一匹，二百四十四錢、一百二十九分錢之一百二十四。
〔三七〕今有出錢一萬三千六百七十，買絲一石二鈞一十七斤。欲石率之，問石幾何？
荅曰：一石，八千三百二十六錢、一百九十七分錢之一百七十八。
經術術曰：以所求率乘錢數為實，以所買率為法，實如法得一。
〔三八〕今有出錢五百七十六，買竹七十八箇。欲其大小率之，問各幾何？
荅曰：
其四十八箇，箇七錢。
其三十箇，箇八錢。
〔三九〕今有出錢一千一百二十，買絲一石二鈞十八斤。欲其貴賤斤率之，問各幾何？
荅曰：
其二鈞八斤，斤五錢。
其一石一十斤，斤六錢。
〔四０〕今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤石率之，問各幾何？
荅曰：
其一鈞九兩一十二銖，石八千五十一錢。
其一石一鈞二十七斤九兩一十七銖，石八千五十二錢。
〔四一〕今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤鈞率之，問各幾何？
荅曰：
其七斤一十兩九銖，鈞二千一十二錢。
其一石二鈞二十斤八兩二十銖，鈞二千一十三錢。
〔四二〕今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤斤率之，問各幾何？
荅曰：
其一石二鈞七斤十兩四銖，斤六十七錢。
其二十斤九兩一銖，斤六十八錢。
〔四三〕今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤兩率之，問各幾何？
荅曰：
其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖，兩四錢。
其一鈞一十斤五兩四銖，兩五錢。
其率
術曰：各置所買石、鈞、斤、兩以為法，以所率乘錢數為實，實如法而一。不滿法者反以實減法，法賤實貴。
〔四四〕今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤銖率之，問各幾何？
荅曰：
其一鈞二十斤六兩十一銖，五銖一錢。
其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖，六銖一錢。
〔四五〕今有出錢六百一十，買羽二千一百翭。欲其貴賤率之，問各幾何？
荅曰：
其一千一百四十翭，三翭一錢。
其九百六十翭，四翭一錢。
〔四六〕今有出錢九百八十，買矢簳五千八百二十枚。欲其貴賤率之，問各幾何？
荅曰：
其三百枚，五枚一錢。
其五千五百二十枚，六枚一錢。
反其率術曰：以錢數為法，所率為實，實如法而一。不滿法者反以實減法，法少，實多。二物各以所得多少之數乘法實，即物數。
九章算術卷第三
衰分
衰分術曰：各置列衰，副并為法，以所分乘未并者各自為實，實如法而一。不滿法者，以法命之。
〔一〕今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿。欲以爵次分之，問各得幾何？
荅曰：
大夫得一鹿、三分鹿之二。
不更得一鹿、三分鹿之一。
簪裹得一鹿。
上造得三分鹿之二。
公士得三分鹿之一。
術曰：列置爵數，各自為衰，副并為法。以五鹿乘未并者，各自為實。實如法得一鹿。
〔二〕今有牛、馬、羊食人苗。苗主責之粟五斗。羊主曰：「我羊食半馬。」馬主曰：「我馬食半牛。」今欲衰償之，問各出幾何？
荅曰：
牛主出二斗八升、七分升之四。
馬主出一斗四升、七分升之二。
羊主出七升、七分升之一。
術曰：置牛四、馬二、羊一，各自為列衰，副并為法。以五斗乘未并者各自為實。實如法得一斗。
〔三〕今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢。欲以錢數多少衰出之，問各幾何？
荅曰：
甲出五十一錢、一百九分錢之四十一。
乙出三十二錢、一百九分錢之一十二。
丙出一十六錢、一百九分錢之五十六。
術曰：各置錢數為列衰，副并為法，以百錢乘未并者，各自為實，實如法得一錢。
〔四〕今有女子善織，日自倍，五日織五尺。問日織幾何？
荅曰：
初日織一寸、三十一分寸之十九。
次日織三寸、三十一分寸之七。
次日織六寸、三十一分寸之十四。
次日織一尺二寸、三十一分寸之二十八。
次日織二尺五寸、三十一分寸之二十五。
術曰：置一、二、四、八、十六為列衰，副并為法，以五尺乘未并者，各自為實，實如法得一尺。
〔五〕今有北鄉算八千七百五十八，西鄉算七千二百三十六，南鄉算八千三百五十六，凡三鄉，發傜三百七十八人。欲以算數多少衰出之，問各幾何？
荅曰：
北鄉遣一百三十五人、一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七。
西鄉遣一百一十二人、一萬二千一百七十五分人之四千四。
南鄉遣一百二十九人、一萬二千一百七十五分人之八千七百九。
術曰：各置算數為列衰，副并為法，以所發傜人數乘未并者，各自為實，實如法得一人。
〔六〕今有稟粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人後來，亦當稟五斗。倉無粟，欲以衰出之，問各幾何？
荅曰：
大夫出一斗、四分斗之一。
不更出一斗。
簪褭出四分斗之三。
上造出四分斗之二。
公士出四分斗之一。
術曰：各置所稟粟斛斗數，爵次均之，以為列衰，副并而加後來大夫亦五斗，得二十以為法。以五斗乘未并者各自為實。實如法得一斗。
〔七〕今有稟粟五斛，五人分之，欲令三人得三，二人得二。問各幾何？
荅曰：
三人，人得一斛一斗五升、十三分升之五。
二人，人得七斗六升、十三分升之十二。
術曰：置三人，人三；二人，人二，為列衰。副并為法。以五斛乘未并者，各自為實。實如法得一斛。
返衰術曰：列置衰而令相乘，動者為不動者衰。
〔八〕今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百錢。欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？
荅曰：
大夫出八錢、一百三十七分錢之一百四。
不更出一十錢、一百三十七分錢之一百三十。
簪褭出一十四錢、一百三十七分錢之八十二。
上造出二十一錢、一百三十七分錢之一百二十三。
公士出四十三錢、一百三十七分錢之一百九。
術曰：置爵數各自為衰，而返衰之，副并為法。以百錢乘未并者各自為實。實如法得一錢。
〔九〕今有甲持粟三升，乙持糲米三升，丙持糲飯三升。欲令合而分之，問各幾何？
荅曰：
甲二升、一十分升之七。
乙四升、一十分升之五。
丙一升、一十分升之八。
術曰：以粟率五十、糲米率三十、糲飯率七十五為衰、而返衰之，副并為法。以九升乘未并者各自為實。實如法得一升。
〔一０〕今有絲一斤，價直二百四十。今有錢一千三百二十八，問得絲幾何？
荅曰：五斤八兩一十二銖、三分銖之四。
術曰：以一斤價數為法，以一斤乘今有錢數為實，實如法得絲數。
〔一一〕今有絲一斤價直三百四十三。今有絲七兩一十二銖，問得錢幾何？
荅曰：一百六十一錢、三十二分錢之二十三。
術曰：以一斤銖數為法，以一斤價數，乘七兩一十二銖為實。實如法得錢數。
〔一二〕今有縑一丈價直一百二十六。今有縑一匹九尺五寸，問得錢幾何？
荅曰：六百三十三錢、五分錢之三。
術曰：以一丈寸數為法，以價錢數乘今有縑寸數為實，實如法得錢數。
〔一三〕今有布一匹，價直一百二十三。今有布二丈七尺，問得錢幾何？
荅曰：八十四錢、 分錢之三。
術曰：以一匹尺數為法，今有布尺數乘價錢為實，實如法得錢數。
〔一四〕今有素一匹一丈，價直六百二十五。今有錢五百，問得素幾何？
荅曰：
術曰：以價直為法，以一匹一丈尺數乘今有錢數為實。實如法得素數。
〔一五〕今有與人絲一十四斤，約得縑一十斤。今與人絲四十五斤八兩，問得縑幾何？
荅曰：三十二斤八兩。
術曰：以一十四斤兩數為法，以一十斤乘今有絲兩數為實，實如法得縑數。
〔一六〕今有絲一斤，耗七兩。今有絲二十三斤五兩，問耗幾何？
荅曰：一百六十三兩四銖半。
術曰：以一斤展十六兩為法，以七兩乘今有絲兩數為實，實如法得耗數。
〔一七〕今有生絲三十斤，乾之，耗三斤十二兩。今有乾絲一十二斤，問生絲幾何？
荅曰：一十三斤一十一兩十銖、七分銖之二。
術曰：置生絲兩數，除耗數，餘，以為法。三十斤乘乾絲兩數為實。實如法得生絲數。
〔一八〕今有田一畝，收粟六升、太半升。今有田一頃二十六畝一百五十九步，問收粟幾何？
荅曰：八斛四斗四升、一十二分升之五。
術曰：以畝二百四十步為法，以六升、太半升乘今有田積步為實，實如法得粟數。
〔一九〕今有取保一歲，價錢二千五百。今先取一千二百，問當作日幾何？
荅曰：一百六十九日、二十五分日之二十三。
術曰：以價錢為法，以一歲三百五十四日乘先取錢數為實，實如法得日數。
〔二０〕今有貸人千錢，月息三十。今有貸人七百五十錢，九日歸之，問息幾何？
荅曰：六錢、四分錢之三。
術曰：以月三十日，乘千錢為法。以息三十乘今所貸錢數，又以九日乘之，為實。實如法得一錢。
九章算術卷第四
少廣
少廣術曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之於左。命通分者，又以分母遍乘諸分子，及已通者皆通而同之，并之為法。置所求步數，以全步積分乘之為實。實如法而一，得從步。
〔一〕今有田廣一步半。求田一畝，問從幾何？
荅曰：一百六十步。
術曰：下有半，是二分之一。以一為二，半為一，并之得三，為法。置田二百四十步，亦以一為二乘之，為實。實如法得從步。
〔二〕今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：一百三十步、一十一分步之一十。
術曰：下有三分，以一為六，半為三，三分之一為二，并之得一十一為法。置田二百四十步，亦以一為六乘之，為實。實如法得從步。
〔三〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：一百一十五步、五分步之一。
術曰：下有四分，以一為一十二，半為六，三分之一為四，四分之一為三，并之得二十五，以為法。置田二百四十步，亦以一為一十二乘之，為實。實如法而一，得從步。
〔四〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：一百五步、一百三十七分步之一十五。
術曰：下有五分，以一為六十，半為三十，三分之一為二十，四分之一為一十五，五分之一為一十二，并之得一百三十七，以為法。置田二百四十步，亦以一為六十乘之，為實。實如法得從步。
〔五〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：九十七步、四十九分步之四十七。
術曰：下有六分，以一為一百二十，半為六十，三分之一為四十，四分之一為三十，五分之一為二十四，六分之一為二十，并之得二百九十四以為法。置田二百四十步，亦以一為一百二十
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