广东省梅州市皇华中学2013届高三上学期第一次月考数学理试题.doc

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皇华中学2013届高三级月考
理科数学
一．选择题。（共40分）
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)
A．i∈S　　　　　　　　 B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
2．下列区间中，函数有零点的区间是（ ）
（A）　　　（B）　　　（C）　　　　（D）
3．函数y＝logx＋3（x≥1）的值域是（ ）
A. B.（3，＋∞） C. D.（－∞，＋∞）
4．“”是“”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数f(x)＝ln(1－x2)的图象只可能是 (　　)

6．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－2＝0
B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0
D．x－4y－5＝0
7．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
8．关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题。（共30分）

9．如图，是圆的直径，，,则 ;

10．如图，中，，圆O经过B、C且与AB、AC分别相交于D、E.若AE=EC= ，则圆O的半径r=________.

11.如图，从圆外一点P引圆的切线PC
和割线PBA，已知PC=2PB，,则的长为 ．

12.函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为 。

13．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞0的解集为　　　　.

14.已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为________．

三．解答题。（共80分）

15．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求的最大值；
（2）设△中，角、的对边分别为、，若且，求角的大小．
16（本小题满分12分）
.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值与最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.

17（本小题满分14分）
.已知等比数列的前项和为， ，且，，成等差数列.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列前项和．
18（本小题满分14分）
.已知函数f(x)＝2x，g(x)＝＋2.
(1)求函数g(x)的值域；
(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值
19. （本小题满分14分）.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）.
(Ⅰ)写出y与x的函数关系式；
（Ⅱ）改进工艺后，如何确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

20. （本小题满分14分）
已知函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.
(1)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)仅在x＝0时处有极值，求a的取值范围；
(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，求b的取值范围.

皇华中学2013届高三级月考
理数答案
解：（1）15. ……………2分
．（注：也可以化为） …4分
所以的最大值为． …………………………………………………………6分
（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）
（2）因为，由（1）和正弦定理，得．………………7分
又，所以，即， ………………9分
而是三角形的内角，所以，故，， ………………11分
所以，，． ……………………………………12分
16.解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
当x＝1时，f(x)取最小值为1，当x＝－5时，f(x)取最大值为37，所以f(x)的最大值是37；最小值是1.
(2)由于函数的对称轴是x＝－a，要使函数在区间[－5,5]上是单调函数，必须且只需满足|a|≥5，
故所求的a的取值范围是a≤－5或a≥5.
17.解：（1）设数列的公比为，……………1分
若，则，，，故，与已知矛盾，故，………………………………………………2分
从而得，…………………………………4分
由，，成等差数列，得，
即，
解得……………………………………………5分
所以.………………………………………………6分
（2）由（１）得，，………………………………7分
所以
………………………………10分
……………………………12分
18.解：(1)g(x)＝＋2＝()|x|＋2，
因为|x|≥0，所以0＜()|x|≤1，即2＜g(x)≤3，
故g(x)的值域是(2,3].
(2)由f(x)－g(x)＝0得2x－－2＝0，
当x≤0时，显然不满足方程，即只有x＞0满足2x－－2＝0，
整理得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，
故2x＝1±，
因为2x＞0，所以2x＝1＋，即x＝log2(1＋).
19解:(Ⅰ)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x),月平均销售量为a(1-x2)件,则月平均利润
(元),
. ………………6分
(Ⅱ)（舍）， ………………8分

取得最大值.
故改进工艺后,产品的销售价为元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. ……………………14分
.
20.解：(1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4).
当a＝－时，f′(x)＝x(4x2－10x－4)
＝2x(2x－1)(x－2).
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x
(－∞，0)
0

2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(0，)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(，2)内是减函数.
(2)f′(x)＝x(4x3＋3ax＋4)，显然x＝0不是方程4x3＋3ax＋4＝0的根.
为使f(x)仅在x＝0处有极值，必须4x2＋3ax＋4≥0，即有Δ＝9a2－64≤0.
解此不等式，得－≤a≤.这时，f(0)＝b是唯一极值.
因此满足条件的a的取值范围是[－，].
(3)由条件a∈[－2,2]，可知Δ＝9a2－64＜0，从而4x2＋3ax＋4＞0恒成立.
当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.
因此函数f(x)在[－1,1]上的最大值是f(1)与f(－1)两者中的较大者.
为使对任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，当且仅当
即在a∈[－2,2]上恒成立.
所以b≤－4，因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4].

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