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如图，四边形和均为正方形，求
_________.

已知：、分别为的内、外角平分线，为的中点，求证：

已知：、分别为的内、外角平分线，求证：.
如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、.
⑴ 证明：是定值；⑵ 求的最小值

如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，
求证：．

2007年全国初中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1. 已知满足，则的值为 （ ）
（A）1. （B）. （C）. （D）.
2．当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）
（A）－1. （B）1. （C）0. （D）2007.
3. 设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是 （ ）
（A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形.
4. 已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（ ）
A
E
C
B
D
O
H
（A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°.

5．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1. 设，是的小数部分，是的小数部分，则____1___.
2. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则=
3. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为____4_____.
A
B
C
D
E
F
G
M
N

4． 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是___17____.

第二试 （A）
一、 （本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.
A
B
C
D
E
F
M
N
P
二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.

三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.
第二试 （B）
一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.
三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.
三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设，则 （ ）
A.24. B. 25. C. . D. .

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ）
A.. B. . C. . D. .

3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）
A.. B. . C. . D. .

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝ （ ）
A.. B. . C. . D. .

6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.
2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.

3．如果实数满足条件，，则______.
4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.
一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.
二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.

三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以为三边长可构成一个直角三角形.

二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）
. . . .
4．在△中，，，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则 （ ）
. .
. 和的大小关系不确定.
5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为 （ ）
. . . .
6． 已知实数满足，则的值为 （ ）
. 2008. . 1.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．设，则.
2．如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，，则四边形的面积为

3．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则
4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .
第二试 （A）
一．（本题满分20分） 已知，对于满足条件的一切实数，不等式
（1）
恒成立.当乘积取最小值时，求的值.
二．（本题满分25分） 如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.
（1）证明：点在圆的圆周上.
（2）设△的面积为，求圆的的半径的最小值.

三．（本题满分25分）设为质数，为正整数，且

求，的值.
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若均为整数且满足，则 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
2．若实数满足等式，，则可能取的最大值为 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若是两个正数，且 则 （ C ）
A．. B．. C．. D．.
4．若方程的两根也是方程的根，则的值为 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则 （ D ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数满足方程组则 13 .
2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则 ．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.

三．（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.
（1）如果都是整数，且，求的值.
（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.
三．（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．