数学思想史--张秀洲制作.doc

湖 南 师 范 大 学 数 计 院--张 秀 洲

01.学习数学史的意义。
⑴学习和研究数学史，有助于加深对数学知识本身的理解；
⑵可以开阔视野，提高境界，激发民族自豪感，增强攀登世界科技高峰的信心；
⑶可以了解数学发展过程中各个时期的主要特点，以提高历史鉴别能力，使我们更加客观、明智；
⑷在数学方面大有借鉴的价值，还助于编选教材寻求有效地数学教学方法和学习方法。

02.巴比伦用一种截面为楔形的笔在泥板上刻写符号；埃及写在纸草书上，；阿拉伯数码起源于印度；中国是在龟甲和兽骨上刻写，是第一个使用十进制、的国家。

03.中国数学史发展阶段：古代数学的初期（大约在公元前两千年）→古代数学体系形成时期（自秦代至西、东汉）→古代数学稳步发展时期（魏晋南北朝至隋朝）→古代数学的兴盛时期（宋代至元代末年）→古代数学衰落时期（明代初至明代末）→西方数学传入时期（明末清初）→走向蓬勃发展新时期。

03.“算经十书”有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》。《周髀算经》是现存的文献中引用勾股定理最早的著作；《九章算术》包含246个问题，并都分别指出了解法，分为九章，是世界上介绍方程最早的著作。

04.祖冲之算出圆周率在3.1415926—3.1415927之间，把古代用22/7近似圆周率称为疏率，首先提出了用355/133来近似圆周率，称为密率，重要著作有《缀术》。

05.朱世杰著作有《算术启蒙》和《四元玉鉴》，《四元玉鉴》建立了解高次方程组的方法。“天”“地”“人”“物”表示未知数。

06.爱奥尼亚学派的代表人泰勒斯，他是首开先河提出了数学命题的证明，他是希腊数学的鼻祖。毕达哥拉斯学派最早证明了大地为球形和直角三角形两直角边平方和等于斜边平方（勾股定理），以“万物皆为数”作为最高信条，发现无理数，引起数学史上“第一次危机”。 最重要的是，他们给予数学以演绎的特征。

07.雅典人形成了哲人学派的“古典数学”三大作图难题：①三等分角；②倍立方（求作一立方体，使其体积是一已知立方体的2倍）；③化圆为方（求作一正方形，使其面积等于一已知圆）。问题的难度在于，只准用圆规和直尺。

08.欧几里德的《几何原本》由严格逻辑思想和定义、定理、公理等构成的体系。不仅是数学著作的典范，而且影响到科学各个领域。阿基米德（数学之神）、牛顿和高斯被列为古代三个最伟大的数学家。

09.阿波罗尼斯编著的《圆锥曲线》是第一个提出圆锥曲线理论。对于近两千年后的刻卜勒行星运行理论、解析几何与微积分的建立都有启迪作用。

10.欧拉公式：

11.1900年希尔伯特在国际数学家大会提出23个有待解决的重大难题（包括哥德巴赫猜想）揭示了20世纪数学发展的序幕。

12.罗巴契夫斯基创立了非欧几何；这是最早出现的非欧几里得几何。1824年阿贝尔发表了对一类积分方程有开创意义的论文--《一般五次代数方程根式解不可能性的证明》宣告了三百年来人们追求的一般五次代数方程的根式解的不存在的；伽罗瓦写了《关于用根式解代数方程的可解性条件》，创有“伽罗瓦理论”，所开创的工作及群、环、域等代数结构的研究发展成为“近代数学”。在方程中第一次引用“群”这个概念；维尔斯特拉斯是“现代分析之父”，开创语言。

13.数的发展认识过程：①“多少”概念的形成；②对应关系的建立和集合间等数性的发现；③对自然数“后继性”的认识；④科学记数法的确立。

14.中国“0”的发展过程：①用空位不写表示零；②用“空”字代替零；③用“口”代替零；③用圆圈“○”表示零；④椭圆“0”发源于印度。

15.数系的扩张：①从自然数开始到分数概念的产生，是数系的第一次扩张；②负数的产生和确定是数系的第二次扩张；③无理数的发现时数系的第三次扩张；④虚数、复数的发展史数系第四次扩张。

16.阿尔·花拉子模有两本重要著作，《阿尔·花拉子模“关于印度的数”》和《代数学》【这是《代数学》名字的起源】，他被称为“代数学之父”。 创立“移项”和“合并”，
花拉子米是中世纪对欧洲影响最大的阿拉伯数学家，他所著的《代数学》
一书用代数的方法处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元一次和二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路。花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”（即移项与合并同类项）的步骤化成他所讨论的六种类型的方程。
花拉子模把一次或二次方程分为六种类型来求解：
①平方等于根 ②平方等于数 ③根等于数
④平方和根等于数 ⑤平方和数等于根
⑥根和数等于平方
17.①意大利波仑亚的数学教授费尔洛在1500年左右解出了形如的三次方程；②1535年，费尔洛的学生菲饿向意大利数学家塔塔里亚也掌握了这类方程的解法挑战，输了；③1539年，意大利数学家卡尔丹答应替塔塔里亚保密的情况下，塔塔里亚告诉了他，在1945年出版的他的一本《大法》中，发表了塔塔里亚的方法；
塔塔里亚得出方程的求根公式，其中
设则
即
和比较，可知：
或者：
塔塔里亚知道和应是二次方程
的两个根，即
由于，得
④卡尔丹委托他的学生费拉里来解决四次方程。
和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数，我们有

等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即

这是一个关于的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以解出参数。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根。

18.《九章算术》所采用的解法是“遍乘直除法”，解题.
方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
③ ② ①

该方程组的解法如下：

⑴以右行上禾3遍乘中行的每一个数，将结果连续地减去右行中相应的数，直到中行上禾数为0为止。又以3遍乘左行，其结果减去右行，上式变为【图一】

⑵以中行中禾数5遍乘左行，其结果连续四次减去中行，又以9约分，变成【图二】

⑶以左行的法4遍乘中行，其结果直除左行，再以5约分，得【图三】

⑷以左行的法4遍乘右行，以左行直除，又以中行直除，再以3约分，得【图四】
0 0 3
0 5 2
4 1 1
11 24 39
【图二】

0 0 3
0 4 2
4 0 1
11 17 39
【图三】

1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
【图四】

0 0 3
4 5 2
8 1 1
39 24 39
【图一】

这题的答案《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一(斗)；中禾一秉，四斗四分斗之一(斗)；下禾一秉，二斗四分斗之三(斗)”

19.首先做出对数表的人是英国的约亨·耐普尔（纳皮尔）和瑞士的乔伯斯特·布尔基。耐普尔（纳皮尔）约1594年掌握了对数的基本原理。

20.“虚数”一词首先由笛卡尔提出的。并决定用x、y、z表示未知数，用a、b、c表示已知数。是威廉·琼斯在1706年第一次采用的，后来经欧拉提倡而通用的。欧拉的功绩有：以“e”来表示自然对数的底、函数记号f（x）；莱布尼茨用“函数”一词表示随着曲线上点的变动二变动的量。

21.贾宪的“增乘开方法”与“贾宪三角”，后者又称“杨辉三角”。
【用增乘开方法解方程】
例：解方程
解：先定位。由于被开方数为百位，根应为两位数，设为，由，知，较前述，
令则
按数字三角形第三行(1,2,1),有
,则
把代人上式有
再估计，有225末位为5，所以，只有时，
。所以25是625的平方根，即25是原方程的一个根。

例：解方程
解：先确定根应为两位数，设为，则有
按数字三角形第四行(1,3,3,1),有
，则
由，所以将把代人上式有
再看，由于前两项的末位都必为0，所以决定三项之和的末位数只能是，按上式，其和为728，末位是8，按此，估计的个位数，由于必须有，所以，即所以12是方程的一个根。
22.秦九韶的《数书九章》包括：大衍求一术（孙子定理）；数字高次方程的近似根求法；三斜求积公式；线性方程组解法。
三斜求积公式：
海伦公式：其中
23.函数概念的演变:①作为曲线的函数；②变量依赖说；③变量对应说；④集合对应说；⑤集合关系说。

24.柏拉图学派主要的贡献：①强调几何的演绎的推理；②数学推证通法的使用（分析法和归谬法或间接证法）；③对立体几何的研究；④圆锥曲线的发现；⑤对不可公度量的研究。（欧多克斯）

25.《几何原本》的伟大历史意义在于它是用公理法建立起演绎数学体系的最早典范，欧几里得还系统总结了前人的几何证明方法：解析法、综合法和归谬法。欧几里得一共给出了23个定义、5个公设、5条公理。《几何原本》简介：1~4卷为平面几何学，第5卷介绍比例的理论，第6卷讨论比例理论的几何运用，第7~9卷关于数的理论，第10卷讨论了形如的二次无理式的几何分类，第11~13卷为立体几何学。 共13卷。

24.刘徽的割圆术得出“徽率”是。第五公设：当两条直线被第三条直线所截，如有一侧的两个角之和小于两直角，则将这两直线向该侧适当延长后必定相交。

25.19世纪，由于数学家对欧几里得《几何原本》第五公设的怀疑、探索，引出了许多与欧几里得几何不同的几何，所有这些与欧氏几何不同的几何都称之为非欧几何。对第五公设的探索导致罗巴契夫斯基创立了非欧几何，非欧几何的平行公设：在已知平面内，过直线L外一点C可以作至少两条不同的直线与已知直线L平行。

26.《墨经》中包括几何学（体积、面积、圆、极限）、力学、光学及逻辑学等内容；赵爽的《周髀算经》是天文历算著作，最早出现勾股定理的证明。

27.体积原理包括堑堵，阳马和鳖臑。【祖暅原理】两个立体几何在等高处的横截面积相等，那么着两个立体积也相等。（幂势即同，则积不容异）

28.费马从方程出发然后研究轨迹（方程→曲线）；笛卡尔从轨迹出发然后找方程（曲线→方程）。他俩的研究正是解析几何的基本原则的两个相反的定理。
29.笛卡尔建立解析几何的过程：⑴引进单位概念，解决不同次的项可以相加减的问题；⑵引入“坐标”的概念；⑶利用坐标法，提出方程表示曲线的思想。笛卡尔的机会称为“代数几何”，现在称为解析几何。

30.微积分的产生：预备期是17世纪→发展期是18世纪→确定期是19世纪。牛顿和莱布尼茨对微积分的创立做出重大贡献。
莱布尼兹于1646年出生于德国的莱比锡，其主要数学成就有：从数列的阶差入手发明了微积分，论述了积分与微分的关系，引入积分符号；首次引入“函数”一词；发明了二进位制；开始构造符号语言，在历史上最早提出了数理逻辑的思想。

★刘徽生活在三国时代，代表著作有《九章算术著》《海岛算经》，主要成就：
算术上给出了系统的分数算法，各种比例算法，求最大公约数的方法，代数上有方程术，正负数加减法则的建立和开平方或开立方法；在几何上有出入相补原理、体积原理、截割原理、勾股不失本率原理与重差术、割圆术及徽率。

★《几何原本》是以形式逻辑方法把所有内容组织为有机的整体，《九章算术》则按问题的性质和解法分类编排；《几何原本》注重演绎推理，较少实用，《九章算术》则全是实用算法；《原本》内容全是为几何或几何外衣下的算术，《九章算术》则集中了算术、代数、几何等我国当时全部的数学知识。《九章算术》成书标志着中国数学体系的形成，《九章算术》及其著文中蕴含的数学思想不仅对我国古代数学产生了巨大的影响，也极大地促进世界数学的发展。《几何原本》的公理化思想和方法在其他学科中也得到了广泛的应用，指明了数学乃至其他科学的前进道路。

★尐の潴猪☆张秀洲★整理祝您考试顺利，前程似锦!

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