江西省上高二中、临川二中2013届高三联考数学理.doc

临川二中.上高二中联考题
命题人：左仁才 宋永涛 审题人：袁庆
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．
1．若复数，则z2= （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若∥，则等于 （ ）
A． B． C． D．
3. 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是2，那么该定点到原点的距离是（ ）
A. B. C. D.
4. 在直线，曲线及轴轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
5．若正四棱锥的左视图如右图所示. 则该正四棱锥体积是（ ）
A． B． C． D．
6.球O的球面上有四点S、A、B、C,其中O、A、B、C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S-ABC的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.定义在上的函数满足，，已知,则是的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
8.数列的首项为，为等差数列且，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9. 在△ABC中，AC＝6，BC＝7，＝，是△ABC的内心，若，其中,动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.若集合具有以下性质：①，；②若，则，且时， ．则称集合是“好集”．
（1）集合是好集；（2）有理数集是“好集”；（3）设集合是“好集”，若，则；(4)设集合是“好集”，若，则必有；（5）对任意的一个“好集，若，且，则必有.
则上述命题正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11．已知，则=________ ．
12.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐进线的交点分别为、.若，则双曲线的离心率是________ ．
13.把正数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}，若＝2013，则＝ .
  1                                                 1
                 2 3 4                                               2 4
               5 6 7 8 9                                           5 7 9
          10 11 12 13 14 15 16                                  10 12 14 16
甲 乙
14.已知函数，若存在，，当时，，则的取值范围是________ ．
15. 选做题（以下两题选做一题，若两题都做，则以第（1）题计分）
（1）已知点C极坐标为，则以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程是________.
（2）已知函数．若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是________ ．
三、解答题；本大题共6小题，共75分
16. （本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，且满足（）=
（1）求角B的大小;
（2）若, 求△ABC面积的最大值.

17.（本小题满分12分）
某游乐场有、两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏，丙丁两人各自独立进行游戏．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．
（1）求游戏被闯关成功的人数多于游戏被闯关成功的人数的概率；
（2）记游戏、被闯关总人数为，求的分布列和期望.

18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
(I)求证：平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值.

19. （本小题满分12分）
已知数列{}的前项和为
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列{}的前项和为.＝ .
试比较与的大小.

20．（本小题满分13分）
已知，是，轴正方向的单位向量，设，，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设点，点、、、在曲线上，若与共线，与共线，且，求四边形的面积的最小值和最大值.

21．（本小题满分14分）
已知函数，．
（1）求函数在()上的最小值；
（2）若函数与的图象恰有一个公共点，求实数的值；
（3）若函数有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围．

联考题数学（理科）答案
1—10 BAADD DCBAC
11. 12. . 13. 1029 14. 15.
．16.(a-c)cosB=bcosC，根据正弦定理有(sinA-sinC)cosB=sinBcosC，
cosB=sinBcosC
sinAcosB=sin(C+B)，
即 2 sinAcosB=sinA，
因为sinA＞0，所以cosB=，即B=.（6分）
（2）因为| - |= ，所以| |= ，即b2=6，
根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，
可得6=a2+c2-ac，
有基本不等式可知6=a2+c2-ac≥2ac- ac=(2- )ac，
即ac≤3(2+ )，
S=acsinB= ac≤，
即当a=c= 时，
△ABC的面积的最大值为．（12分）
17. (I)
（Ⅱ）可取0，1，2，3，4

0
1
2
3
4
P

18 （I）取的中点，连接，易知，在菱形中，由于，
则，又，则，即，
又在中，中位线，，则，
则四边形为，所以，在中，，
则，故而，
则
（Ⅱ）由（I）知，则为二面角的平面角，
在中，易得，，
故，所求二面角的余弦值为
19解：（1）证明：得
当≥2时，由得，
1于是，
整理得×（≥2），
所以数列{}是首项及公比均为的等比数列。
（2）由（1）得×。
于是，

＝。
又，问题转化为比较与的大小，
即与的大小，设，。
∵，
当≥3时，>0，
∴当≥3时，单调递增，
∴当≥4时，≥＝1，
而<1，∴当≥4时，>，
经检验＝1，2，3时，仍 有>,
因此，对任意正整数，都有>,即<.
13. （1）
由椭圆的定义可知，动点P(x,y)的轨迹方程
（2） 直线AB,CD中至少有一条存在斜率，不妨设AB的斜率为k，故AB的方程为
，将此式子带入椭圆方程得，设A,B两点的坐标分别为，则，
从而
当时，CD的斜率为，同上可得
故四边形ABCD面积

‚当，
故四边形ABCD面积的最小值和最大值分别为
21.解由题，（I）令
（1）当时，在上单调递减，在上单调递增

（2）当时，在上单调递增

（II）由题在上有且只有一个根

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