慧通文府2010届中考数学抛物线与三角形面积专题复习题.doc

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抛物线与三角形面积
　　抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。

　　一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：

　　（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：
　　SΔ=|x1-x2|·||=··||

　　（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为：
　　SΔ=·|x1-x2|·|c|＝··|c|

　　（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。

　　二、　1．求内接于抛物线的三角形面积。

　　例1．已知抛物线的顶点C（2，），它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求ΔABC的面积。
　　解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3,
　　∴ AB=|x2-x1|=|3-1|=2.
　　∴ SΔABC=×2×=.

　　例2．已知二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。

　　解：如图1，S四边形ACBD=SΔABC+SΔABD
　　=××||+××|2|=.

　　例3．如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。

　　解：由
　　得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的坐标为
（0，3）如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB=＝2，
BC=＝3，AC=＝。
　　∵ AC2+BC2=AB2，
　　∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900，
　　∴ SΔABC=AC·BC=××3=3。

　　2．求抛物线的解析式

　　例4．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，其对称轴为直线x=-2，顶点为M，且SΔAMB=8，求它的解析式。

　　解：∵ 对称轴为直线x=-2,
　　∴ -=-2, ∴ b=4,
　　∴ y=x2+4x+c,
　　∵ SΔAMB=··||=·||=8，
　　∴ c=0, ∴ y=x2+4x.

　　例5．设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若AC=20，
　　∠ACB=90°，SΔACB=150，求二次函数的解析式。

　　解：如图3，∵ SΔACB=AC·BC，
　　即150=×20·BC， ∴ BC=15，
　　∴ AB===25，
　　又∵ OC⊥AB， ∴ SΔACB=AB·OC
　　即150=×25·OC，∴ OC=12，故C点坐标为（0，12），
　　∴ AO==16，OB=AB-AO=25-16=9，
　　∴ 点A为（-16，0），点B为（9，0），
　　∵ 二次函数的图像过A、B、C三点，
　　∴ 解得，
　　∴ 所求解析式为：y=-x2-x+12.

　　3．求抛物线解析式中字母系数的值。

　　例6．已知抛物线y=x2-mx+m-2,
　　(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
　　(2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4，求m的值。

　　解：
　　(1)Δ=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,
　　∴ 不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。

　　(2)SΔ=··|c|=··|m-2|=4.
　　即 (m-2)4+4(m-2)2-320=0
　　解得 m=6或m=-2.

　　例7．设O和B为抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，O为原点，M为抛物线的顶点，当ΔOMB为等腰直角三角形时，求k的值。
　　解：如图4，作MN⊥x轴于N点，∵ ΔOMB为等腰直角三角形，∴ MN=OB，
　　即||=·，
　　∴ k1=0, k2=-.
　　又∵ 抛物线与x轴有两个相异交点，
　　∴ Δ=(-2)2-4×(-3)k=4+12k>0.
　　∴ k>-，故取k=0。

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