慧通文府2010届中考数学抛物线与三角形面积专题复习题.doc

慧通教育网抛物线与三角形面积 抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。 一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：S=|x1-x2|=|（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为：S=|x1-x2|c|c| （3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。二、1求内接于抛物线的三角形面积。例1已知抛物线的顶点C（2，），它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求ABC的面积。 解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3, AB=|x2-x1|=|3-1|=2. SABC=2=. 例2已知二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。 解：如图1，S四边形ACBD=SABC+SABD =|+|2|=. 例3如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ABC的面积。 解：由 得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的坐标为（0，3）如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB=2，BC=3，AC=。 AC2+BC2=AB2， ABC为直角三角形，并且BCA=900， SABC=ACBC=3=3。 2求抛物线的解析式 例4已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，其对称轴为直线x=-2，顶点为M，且SAMB=8，求它的解析式。 解： 对称轴为直线x=-2, -=-2, b=4, y=x2+4x+c, SAMB=|=|=8， c=0, y=x2+4x. 例5设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若AC=20， ACB=90，SACB=150，求二次函数的解析式。 解：如图3， SACB=ACBC， 即150=20BC， BC=15， AB=25， 又 OCAB， SACB=ABOC 即150=25OC， OC=12，故C点坐标为（0，12）， AO=16，OB=AB-AO=25-16=9， 点A为（-16，0），点B为（9，0）， 二次函数的图像过A、B、C三点， 解得， 所求解析式为：y=-x2-x+12. 3求抛物线解析式中字母系数的值。 例6已知抛物线y=x2-mx+m-2, (1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点；(2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4，求m的值。 解：(1)=(-m)2-41(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+40, 不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。 (2)S=|c|=|m-2|=4. 即 (m-2)4+4(m-2)2-320=0 解得 m=6或m=-2. 例7设O和B为抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，O为原点，M为抛物线的顶点，当OMB为等腰直角三角形时，求k的值。 解：如图4，作MNx轴于N点， OMB为等腰直角三角形， MN=OB， 即|=， k1=0, k2=-. 又 抛物线与x轴有两个相异交点， =(-2)2-4(-3)k=4+12k0. k-，故取k=0。 慧通教育网