第13讲垂直的判定与性质.doc

第13讲 垂直的判定与性质
1. 线面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. －平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）
2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì，则⊥
3. 面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.
4. 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）
5. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行）
6. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，，，，则.（面面垂直线面垂直）

【例1】四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面.
证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，.
又∴，∴在中，，
∴，∴，又，即，，
∴平面.
【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.
由已知正方体，易知平面，所以为所求.
在中，，，
.
所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.
【例3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.
证明：连接OA、OB、OC，∵ 平面ABC， ∴ .
又 ∵ ，
∴ ，得,
∴ O为底面△ABC的垂心.
【例4】已知，斜边BC//平面， AB，AC分别与平面成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.
解：作于，于，则由，得
，且就是BC到平面的距离，
设，连结，则，
∴，
在中，，∴，∴，即BC到平面的距离为．
【例5】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,
（1）证明：C1C⊥BD； （2）当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？
解：（1）证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D
∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O
∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD.
（2）由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.
【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.
（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF.
证明：（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，
∴ PA⊥平面PEF. ∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.
（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.
又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.
【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面.
证明：为AC中点，所以.
同理可证 ∴ 面BGD.
又易知EF//AC，则面BGD.
又因为面BEF，所以平面平面.
【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：．
证明：连接AC，交BD于F，连接，EF，，.
由正方体，易得，，F是BD的中点， 所以，得到是二面角的平面角.
设正方体的棱长为2，则
，，
.
∴ ，即，所以.
【例4】正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.
解：（1）延长ED交CB延长线于F，
，
∴ ，.
∵， ∴ 为截面与底面所成二面角的平面角.
在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.
（2）设AB=a，则，
. ∴ .
【例5】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.（1）求证：CD⊥PD； （2）求证：EF∥平面PAD；
（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？
解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵ CD⊥AD，CD⊥平面PAD. ∴CD⊥PD.
（2）证明：取CD中点G，连EG、FG， ∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD. ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD.
（3）当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD.
证明：G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP.
由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE. 又F是PC的中点，∴EF⊥PC，
由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.

A
C

α
B
a
【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？
解：

【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.
解：（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC.
又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC.
∵ BC 平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC.
（2）平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD.
【例3】三棱锥中，,平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的外心.
证明：连接OA、OB、OC，
∵ 平面ABC， ∴ .
在△PAO、△PBO、△PCO中，,
, PO边公共.
∴ . ∴ ,
所以，O为底面△ABC的外心.
【例4】三棱锥中，三个侧面与底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的内心.
【证】作于D，于E，于F，连接OD、OE、OF.
∵ 平面ABC，∴ ， .
又 ∵ ,
∴ .
得 ,
∴ 为三个侧面与底面所成的二面角的平面角.
即得，
∵ PO边公共， ∴ ，得 ，
又 ∵ .
∴ O为底面△ABC的内心.
【例5】在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1； （2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
（3）如果截面MBC1⊥平面BB1C1C，那么AM=MA1吗？请你叙述判断理由.

解：（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵ 底面ABC⊥平面BB1C1C， ∴AD⊥侧面BB1C1C, ∴AD⊥CC1.
（2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N.
∵AM=MA1，∴NA1=A1B1。 ∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1。 ∴C1N⊥C1B1.
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C.
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C， ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
（3）过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C, ∴ME⊥侧面BB1C1C，
又∵AD⊥侧面BB1C1C, ∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面.
∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE. ∵CC1⊥AD，∴DE∥CC1.
∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点. ∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1.
9．（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.
（1）求证：； （2）求证：平面；
（3）求二面角的大小.
解：（1）∵ PA⊥平面 ABCD，
∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.
又∵AB⊥AC，AC平面ABCD， ∴AC⊥PB.
（2）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO.
∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点
又 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB.
又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，
∴PB∥平面 AEC.
（3）.

※探究创新

10．（02年北京理）如图，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.
（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的正切值；（2）证明：EF∥面ABCD；
（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）
解：（1）过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G.
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.
∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形. ∴PG=（b－d），
又B1G=h， ∴tan∠B1PG=（b＞d），
（2）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，
又CD是面ABCD与面CDEF的交线，∴AB∥面CDEF.
∵EF是面ABFE与面CDEF的交线， ∴AB∥EF.
∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外， ∴EF∥面ABCD.
（Ⅲ）V估＜V.
证明：∵a＞c，b＞d，
∴V－V估==［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］
=（a－c）（b－d）＞0.
∴V估＜V.