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保密★启用前 试卷类型A
2010年高考适应性训练
理科数学试题（A） 2010.4
本试卷分抵I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出大案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。（特别强调：为方便本次阅卷，每位考生在认真填涂“数学”答题卡的前提下，再将I卷选择题答案重涂在另一答题卡上。）如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号。
一、 选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数 若复数是实数，则x的值为
A. -3 B. 3 C. 0 D.
2.记者要为4名志愿者和他们帮助的1位老人拍照，要求排成一排，且老人必须排在正中间， 那么不同的排法共有
A.120种 B.72种 C.56种 D.24种
3.已知 ，若，则
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
4.已知数列{an} 的各项均为正数，若对于任意的正整数p，q总有ap+q = ap·aq，且a8 = 16， 则a10 =
A.16 B.32 C.48 D.64
5.从抛物线y2 = 4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM| = 5，设抛物线的焦点 为F，则的面积为
A.6 B.8 C.10 D.15
6.下列命题中，正确的是
A.直线l平面，平面//直线l，则
B.平面，直线m，则m//
C.直线l是平面的一条斜线，且l，则与必不垂直
D.一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行
7.已知命题p：x(-，0)，2x<3x；命题q：x(0，)，tanx > sinx，则下列命题为真 命题的是
A.pq B.p(q)
C.(p)q D.p(q)
8.函数y=tan()(0<x<4)的图像如图所示，A为图像与x轴的交点，过点
A的直线l与函数的图像交于B、C两 点，则（）· =
A. -8 B.-4 C.4 D.8
9. 若多项式x3+x10 = a0+a1(x+1)+……+a9(x+1)9+ a10+a1(x+1)10，则a9 =
A.9 B.10 C.-9 D.-10
10. 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）
则该几何体的体积为（ ）m3。
A.
B.
C.
D.
E.
A B. C. D.
11. 已知函教的图象与直线y = b (0<b<A)的三个相邻交 点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是
A. B.
C. D. 无法确定
12. 已知满足且目标函数的最大值为7，最小值为1，则
A. B. C. 3 D. -3
第II卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1.第II卷包括填空题和解答题共两个大题。
2.第II卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13.所围成的封闭图形的面积为 。
14.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 。
15. 已知过双曲线右焦点且倾斜角为450的直线与双曲线右支有两 个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是 。
16. 请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足，那么。
证明：构造函数，因为对一切实数x，恒有，所以，从而得，所以。
根据上述证明方法，若n个正实数满足时，你能得到的结论为
。（不必证明）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17 （本小题满分12分）
已知数列{an}的首项，若
（I）问数列｛bn｝是否构成等比数列？并说明理由。
（II）若已知a1=1，设数列{an·bn}的前n项和为Sn，求Sn 。
18. （本小题满分12分）已知函数在时取最大值2。是集合中的任意两个元素，||的最小值为。
（I）求a、b的值；
（II）若，求的值。
19.（本小题满分12分）今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量。例如：家居用电的碳排放量（千克） = 耗电度数0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数0.785等。某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：
（I）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；
（II）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。如果2周后随机地从A小区中任选25人，记表示25个人中低碳族人数，求E。
20. （本小题满分12分）右图为一简单组合体，其底
面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且
PD=2EC。
（I）求证：BE//平面PDA；
（II）若N为线段PB的中点，求证：EN平面
PDB；
（III）若，求平面PBE与平面ABCD
所成的二面角的大小。
21. （本小题满分12分）已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为，且
过点。
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线分别切椭圆C与圆（其中3<R<5）于A、B两点，求|AB| 的最大值。
22. （本小题满分14分）已知函数。
（I）求函数的极值；
（II）对于曲线上的不同两点P1（x1,y1），P2（x2,y2），如果存在曲线上的点Q（x0,y0）， 且x1<x0<x2，使得曲线在点Q处的切线//P1P2,，则称为弦P1P2,的伴随切线。
特别地，当x0 = x1 + (1-)x2 (0<<1)时，又称为弦P1P2,的-伴随切线。
（i）求证：曲线y=f(x)的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（ii）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由。
2010年高考适应性训练
理科数学试题（A）参考答案
一、 选择题
1. B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D 9.D
10.A 11.C 12.B
二、 填空题
13.ln2 14.-1 15. 16.
三、解答题
17.解：（I）。
，
所以，当时，数列构成等比数列；
当a=2时，数列不构成等比数列。………………………………………………… 4分
（II）当 a=1，得，，，
所以
……………………………………………………… 12分
18. 解：（I），
可设，其中
由题意知：。
……………………………………………………………………… 3分
，从而，
即，
从而a=1,b=…………………………………………………………………………………6分
（II）由。
。…………………………………………12分
19. 解：（I）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A，
P(A)=……………………5分
（II）设A小区有a人，2周后非低碳族的概率P=，
2周后低碳族的概率P=，…………………………………………………9分
依题意~B(25-)，所以E=25=17…………………………………………12分
20. 解：（I）证明：，
，同理可得BC//平面PDA，
又，…………………………………………4分
（II）如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，PD=a，
则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,),N(,,)。
……………………8分
（III）连结DN，由（II）知
为平面ABCD的法向量，，
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为，则
，即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为450………………………12分
21. 解：（I）设椭圆的方程为，则，
椭圆过点 ，解得a2=25,b2=9，
故椭圆C的方程为……………………………………………………………4分
（II）设A（x1，y1）,B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m，因为A既在椭圆上，又在直线AB上，
从而有，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，
由于直线与椭圆相切，
故=(50kmx)2-4(25k2+9)25(m2-9)=0，从而可得：m2=9+25k2，①，x1=,②
由。消去y得：(k2+1)x2+2kmx+m2-R2=0，
由于直线与圆相切，得m2=R2(1+k2),③,x2=,④
由②④得：x2-x1=,由①③得：k2=,……………………………9分
即|AB|2，当且仅当R=时取等号，所以|AB|的最大值为2 ………………… 12分
22. 解：（I）
当，函数在内是增函数，函数没有极值。……3分
当a<0时，令，得。
当x变化时，与变化情况如下表：
x
f`(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
当时，f(x)取得最大值f()=-1+ln()。综上，当时，f(x)没有极值；
当a<0时，f(x)的极大值为-1+ln()，没有极小值。………………………………5分
（II）（i）设P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上的任意两点，要证明弦P1P2有伴随切线，只需证明存在点Q(x0,f(x0))，x1<x0<x2，使得，
且点Q不在P1P2上。…………………………………………………………………………7分
，即证存在，使得，即成立，且点Q不在P1P2上。
以下证明方程在（x1,x2）内有解。
记F(x)=，则F(x)=，令g(t) = lnt - t + 1，t>1。，g(t)在内是减函数，g(t) <g(1)=0。取，则 ，即F(x1)<0…………………………………………9分
同理可证F(x2)>0, F(x1)F(x2)<0。函数F(x)=在（x1,x2）内有零点。
即方程=0在（x1,x2）内有解x=x0。…………………………10分
又对于函数g(t)= lnt - t + 1，取t=，则，
可知，即点Q在P1P2上。F(x)是增函数，F(x)的零点是唯一的，
即方程=0在（x1,x2）内有唯一解。
综上，曲线y=f(x)上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。……………11分
（ii）取曲线C：y=h(x)=x2，则曲线y=h(x)的任意一条弦均有-伴随切线。
证明如下：
设R（x3,y3）,S(x4,y4)是曲线C上任意两点（x3y4），
则
又
即曲线C：y=x2的任意一条弦均有-伴随切线。……………………………………14分
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