第10讲柱锥台球的表面积和体积（学生）.doc

第10讲 柱锥台球的表面积和体积

表面积相关公式

表面积相关公式
棱柱

圆柱
（r：底面半径，h：高）
棱锥

圆锥
（r：底面半径，l：母线长）
棱台

圆台

（r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长）
【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.

【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.

【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m2）

【例4】有一根长为10 cm，底面半径是0.5 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01 cm）

体积公式

体积公式
棱柱

圆柱

棱锥

圆锥

棱台

圆台

2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：
.
【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .

【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.

【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为　 　　.

【例4】在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.
h
r

【例5】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱= 8. 若水平放置时，液面恰好过的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？

1. 表面积： （R：球的半径）. 2. 体积：.
【例1】有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）．

【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.

【例3】设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.
A． B． C． D．

【例4】如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是
A. B. C. D.

B
C
A
D
4
5
2

【例5】如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.

练习：
1．【2008年宁夏理】 15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．
2．【2008年宁夏文】 14．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．
3．【2008年福建理】（15）（文科15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　 　．
4．【2008年江西理】 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．
5．【2008年江西文】 15．连结球面上两点的线段称为球的一条弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ．
6．【2008年宁夏文】 18．（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．
（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结，证明：面．

7．【2007广东文】17．（本小题满分12分） 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S。