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矩阵与行列式教案

课程标准：

历年高考试题回顾：

1．(2008江苏)选修4—2　矩阵与变换
在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
1．解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点
则有
，即，所以
又因为点在椭圆上，故，从而
所以，曲线的方程是

2.（2009上海理） 若行列式中，元素4的代数余子式大于0，
则x满足的条件是________________________ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

9.1矩阵的概念

教学目标：
1.了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题。
2．了解矩阵的相关知识,如行、列、元素、单位矩阵等的意义和表示。
教学重点：
矩阵的概念及其相关概念的理解与运用。
教学过程：
一、拓展性问题导入
1．表——矩阵：
观察下列几个城市之间的航线距离（单位：英里）：
城 市
伦敦
墨西哥城
纽约
巴黎
北京
东京
伦 敦
0
5 558
3 469
214
5 074
5 959
墨西哥城
5 558
0
2 090
5 725
7 753
7 035
纽 约
3 469
2 090
0
3 636
6 844
6 757
巴 黎
214
5 725
3 636
0
5 120
6 053
北 京
5 074
7 753
6 844
5 120
0
1 307
东 京
5 959
7 035
6 757
6 053
1 307
0
2．图——矩阵
B
A
C
D
A B C D
A
B
C
D
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0

矩阵的重要性就在于它可以把一个几何图形变化成一个数值表，这样我们就可以用数来研究了。
3．坐标平面上的点（向量）——矩阵
设O(0, 0)，P(2, 3)，则向量 = (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为 。
y
x
2
3
O
P
(2, 3)
2
3
2
3

4．日常生活——矩阵
（1）某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：
A B C D E
28英寸 1 3 0 1 2
30英寸 5 8 6 1 2
32英寸 2 3 5 6 0
34英寸 0 1 1 0 3

（2）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：

初赛

复赛
甲
80
90
乙
86
88
5．将方程组中未知数的系数按原来的次序排列，并简记为
思考：矩阵的定义改如何建构？
二、矩阵的定义及相关概念
1.矩阵的定义：我们把形如，，这样的矩形数字阵列称为矩阵。
2.矩阵的表示：用记号A，B，C，…或（aij）(其中i,j分别元素aij所在的行和列)表示矩阵。

3.矩阵的要素：行——列——元素
（1）、矩阵中的每个数字叫做矩阵元素。
（2）、同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行
（3）、同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列.

4.二元一次方程组的求解引入矩阵的相关概念

由上表可得：
（1） 系数矩阵：二元一次方程组两个方程的系数构成的矩阵叫方程组的系数矩阵，如
， 因为其有两行两列，记为
注：矩阵可表示为其中m和n分别表示行数和列数
（2） 增广矩阵：二元一次方程组中的方程及其常数构成的矩阵叫方程组的增广矩阵，如
，因为其有2行3列，记为。
注：增广矩阵表示时，字母A上要加一横线。
（3） 行向量：1行2列的两个矩阵叫做系数矩阵的行向量。如：（1，－2）（3，1）
（4） 列向量：2行1列的两个矩阵叫做系数矩阵的列向量。如：
思考：增广矩阵的行向量和列向量是什么？
（5） 单位矩阵：对角线元素为1，其余元素为0的矩阵叫做单位矩阵。如：
注：元素为1的对角线必须为左上与右下的对角线
思考：为什么只能是左上与右下的对角线呢？
（6） 方矩阵：行数和列数相等的矩阵叫做方矩阵，简称方阵。若行数与列数都为2，则
矩阵称为二阶矩阵。
思考：若行数与列数都为n的矩阵称为什么？
（7） 相等矩阵：行列数目相等并且对应元素相等的两个矩阵叫相等矩阵，记作：A=B。
（8） 零矩阵：所有元素均为0的矩阵叫做零矩阵。（补充内容，仅作了解）

三、前后贯通，溶为一体

1、 矩阵与集合的联系与区别
2、 矩阵与数列的联系与区别
3、 矩阵与向量的联系与区别

四、例题

例题1：某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240万吨160万吨；从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360万吨、820万吨。 请设计一个矩阵来表示这些数据。

例题2：已知一个三元一次方程组

试写出其系数矩阵、增广矩阵。
例题3：已知,，若A=B，试求
例题4：观察下图，这是一个有三个点A、B、C连接构成的图形，请用矩阵表示这一图形的结构。
A
C
B

例题4：用矩阵变换法求方程组的解。
解：该方程的增广矩阵为A=
设①、②分别表示矩阵的第1、2行，对矩阵A进行下列变换：
②×（﹣2），同时①不变得：
①×3+②，同时①不变得：
②×，同时①不变得：
②×（﹣1）+①，同时②不变得：
①×，同时②不变得：
由最后一个矩阵可知：
从上例中可以看出，通过对线性方程增广矩阵的变换可以得到方程组的解，这里所用的矩阵变换主要有三种：
（1） 互换矩阵的两行
（2） 把某一行同乘（除）以同一个非零的数
（3） 把某一行乘以同一个数，再加到另一行
通过上述三种变换，使线性方程的系数矩阵变为单位矩阵时，其增广矩阵的最后一列
向量给出了方程组的解。

例题5：用矩阵变换法求方程组 的解。（高斯消去法）

解：该方程组的增广矩阵为A=
设①、②、③分别表示矩阵的第1、2、3行，对矩阵A进行下列变换：
（注意：这里的①、②、③随着矩阵的变化在变化）

①+③，同时①×（﹣2）+②得
③×5﹣②×2得（这里的①、②、③是上一个矩阵的三行）

③×，同时②×得
③×+②，同时③×（﹣3）+①得
②×2+①得

由最后一个矩阵可知

总结例题，我们看到增广矩阵的变换也无非是反复地对矩阵进行两种基本操作：
(1)用一个非零的数乘以某行的各个元素；
(2)用一个非零的数乘以某行的各个元素，然后加到另一行相应的元素上去．
这种操作叫做矩阵的初等变换．把矩阵的两行互换位置，也是初等变换．
综上所述，高斯消去法实质上就是按顺序有规则地反复利用矩阵的初等变换，把增广矩阵化成如下形式的过程．

这种方法可以推广到元素和方程数更多的线性方程组上去．同学们可以思考一下对四元线性方程组的矩阵变换过程及结果的形式．

五：作业
1. 小王是个气象爱好者，他根据多年收集的资料，发现了当地天气有如下的规律：
晴天的次日是晴天的概率为 ；晴天的次日是阴天的概率为 ；
晴天的次日是雨天的概率为 。
阴天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是 ；
雨天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是 。
请将上述数据用矩阵进行表示。
2. 课本P79，练习9.1的第1—3题。
3. 设A=，B=若A=B，求x、y、m、n的值。
4. 用矩阵表示下列关系图
B
A
C
D

5. 练习部分P48，9.1B组第2题。

9.2矩阵的运算
教学目标：
1.熟练掌握矩阵的加法、减法、数乘、乘法运算法则。
2．理解矩阵数乘时，满足的交换率和结合律。
3.明确矩阵乘法运算时，满足的条件，同时理解矩阵乘法不满足交换律。
4.会用矩阵记号表示线性方程组。
教学重点：
矩阵乘法的概念与运算、矩阵乘法运算满足的条件、学会利用矩阵的运算判断方程组解的情况。
教学过程：
一、 矩阵的加法、减法运算
法则：将两个行数和列数都相等的矩阵的对应位置上的元素相加（相减），i=1,2,3…,m；j=1,2,…,n,所得的矩阵称为两个矩阵的和（差），记作A+B（A－B） 。

例1：已知A=，B=,求A+B与A－B
注意：（1）矩阵的加减法运算要求两个矩阵必须行数和列数相等
（2）必须是对应位置上元素相加减
（3）矩阵加减法运算的结果仍旧是矩阵，而且与原来的矩阵行数和列数相等

二、 矩阵的数乘运算
1.法则：矩阵与一个实数的乘积为矩阵的数乘运算。矩阵的数乘运算时，要求矩阵中的每个元素都与该实数相乘，得到的新的矩阵为运算结果。
即：当A=与实数a乘积为aA=
例2：已知A=，B=，求3A+2B和A－2B
注意：数乘运算时，一定要所有元素都发生数乘。

2.矩阵数乘的运算律
Aa=aA (交换律)
c(A+B)=Ac+Bc (结合律)
证明由学生自己实践获得。

思考：矩阵的加减法运算和数乘运算与向量的相关运算的相似性

三、 利用矩阵判断线性方程组有解的条件
1. 线性方程组——只含未知量x,y,z…的一次项和常数项的方程组。
2. 线性方程组的系数矩阵为，其两个列向量为、
则原方程组可表示为x+y=。
注：线性方程组的这种表示叫做用矩阵记号表示线性方程组。

例3，判断线性方程组解的情况
解：方程组的系数矩阵为，其两个列向量为、
则原方程组可表示为x+y=。
根据平面向量分解定理可知：
当向量和不平行时，有且仅有一对实数x,y使得上式成立，即有且仅有一组解。
当向量和平行时，对于任意的x,y =+都与或平行，若向量与平行，则方程组有无数组解；若向量与不平行，则方程组无解。
注意：平面向量可以表示成矩阵的行向量，也可以表示成矩阵的列向量。
在处理矩阵题目的过程中，要能够及时与向量的相关知识发生联系。

四、矩阵的乘法运算★（重点）

1. 矩阵乘法法则:
=
2.矩阵乘法的推广：n行k列的矩阵A和k行m列的矩阵B（其中m，n，k）,可以计算乘积，且乘积有意义。(矩阵可以进行乘法运算的充要条件)

例4:（1）已知A=，B=,计算AB，A2
（2）已知A=，B=，计算AB,BA
(3)已知A=，B=，C=计算AB,AC
注意：（1）零矩阵的引入
（2）矩阵乘法满足交换律吗？

例5：已知A=,B=求AB

例6：已知A=,B=求AB

思考：例5与例6的题目求BA有结果吗？

例7.已知A=,B=,求AB

思考：这样的矩阵乘积是什么呢？

3. 矩阵乘法的运算律：
（1） 矩阵乘法不满足交换律
对于二阶矩阵A，B，尽管AB，BA均有意义但一般ABBA。
（2） 矩阵乘法满足结合律（AB）C＝A（BC）（可利用例5的第三题进行论证，学生实践）
（3） 矩阵乘法不满足消去律

例8. 已知：A=，B＝，C＝，计算AB，AC。
注意：此题说明矩阵乘法不满足消去律。虽然有AB=AC，但

4.二阶矩阵与平面向量的乘积

（1）、 向量=（x，y）和平面上的点P（x，y）都可以看成行矩阵（x，y），也可以看出列矩阵。其中（x，y）称为行向量，称为列向量。习惯上我们把平面内向量的坐标（x，y），写出列向量的形式。
（2）、行矩阵与列矩阵的乘法法则为：
=
矩阵与列向量的乘法法则为：
=

例9. 计算 的乘积，同时说明向量发生了什么变化。

（3）、一般地，对与平面上的任意一点（向量）（x，y），若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点（向量），则称T为一个变换，简记为：
T：（x，y）→ 或 T：→

例10.某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：
假设不同牌子的每条牛仔裤的平均利润分别为：A为30元，B为35元，C为40元，D为25元，E为40元，试求该商店在这一星期的总利润？

五、作业

1. 课本P82，9.2练习第1---2题
2. 练习部分 P51,习题9.2B组第1题
3. 练习部分P52, 习题9.2B组第3题
4. 练习部分P49, 习题9.2A组第3题
5. 练习部分P49, 习题9.2A组第4题
6. 练习部分P52, 习题9.2B组第4题
7. 练习部分P52, 习题9.2B组第5题

探索与实践——矩阵的变换

一、向量变换与坐标变换

二、图形变换的几种类型
1.相似变换
例1，已知：矩阵A=发生如下变换
T：→= ，观察图形的变化特征。
解：=
所得矩阵表示的图形如图所示

注意：当按矩阵变换时，得到的图像变为了原来的n倍。
2.恒等变换
例2，已知：矩阵A=发生如下变换
T：→= ，观察图形的变化特征。
解：=
所得矩阵表示的图形如图所示

3.伸缩变换
例3，已知：矩阵A=发生如下变换
T：→= ，观察图形的变化特征。
解：=
所得矩阵表示的图形如图所示

注意：伸缩变换后的图形，一定程度上改变了原图形的形状，但也保留了原图形的一些性质。

4.反射变换
例4，已知：矩阵A=发生如下变换
T：→= ，观察图形的变化特征。
解：=
所得矩阵表示的图形如图所示

例5，已知：矩阵A=发生如下变换
T：→= ，观察图形的变化特征。
解：=
所得矩阵表示的图形如图所示

思考：试着探究与这两种变换下的图形变化情况
5.旋转变换

例6，已知：矩阵A=发生如下变换
T：→= ，观察图形的变化特征。
解：=
所得矩阵表示的图形如图所示

作业
试着借助计算机Excel工具对上述例题中的矩阵A安装以下矩阵发生变换、、、，试着作图并观察所得图形的变换情况。