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2010探索规律分类
一.选择题
1.（2010日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（D）
A.15 B.25 C.55 D.1225
2.（2010盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ D ）
0
2
8
4
2
4
6
22
4
6
8
44
m
6

A．38 B．52 C．66 D．74
3.（2010济南）观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+……
+8n（n是正整数）的结果为（ A ）

A． B． C． D．
4.(2010舟山)小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟。以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（ C ）
A. 14分钟 B. 13分钟 C . 12分钟 D . 11分钟

5.（2010绵阳）如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n =（B ）
A．29 B．30 C．31 D．32
6. （2010广东广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接
收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次
对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10
除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
序号
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
字母
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
序号
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（A ）
A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
【分析】m对应的数字是12，12＋10＝22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；
a对应的数字是0，0＋10＝10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数
字是19，19＋10＝29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成
密文后是wkdrc．
7．(2010 达州 )在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n），规定以下两种变换：
①，如；
② ，如.
按照以上变换有：，那么等于( A )
A.（3，2） B.（3，-2）
C.（-3，2） D.（-3，-2）
8. (2010潍坊)如图，雷达探测器测得六个目标出现.按照规定的目标表示方法，目标的位置表示为按照此方法在表示目标
的位置时，其中表示不正确的是（　D　）
A． B. C. D.

9. (2010鄂尔多斯)用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形．折纸过程如图所示，则等于（ B ）．
A． B． C． D．

10. (2010鄂尔多斯)定义新运算：，则函数的图象大致是（ B ）．
第10题图
D．

C．
B．
A．

11.
二.填空题
1.（2010丽水）已知a≠0，，，，…，，
则　　(用含a的代数式表示)．
2.(2010莱芜)已知：，，，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算 ．210
3.（2010遵义）小明玩一种的游戏,每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表:
挪动珠子数(颗)
2
3
4
5
6
……
对应所得分数(分)
2
6
12
20
30
……
当对应所得分数为132分时,则挪动的珠子数为 颗.12
4.(2010东营)观察下表，可以发现: 第_________个图形中的“△”的个数是“○”的个数的5倍.20
序号
1
2
3
…
图形
○

○

△

○

○

○
○
○
○
△
△
○
△
△
○
○
○

○
○
○
○
○
△
△
△
○
△
△
△
○
○
△
△
△
○
○
○
○

…

5. （2010贵阳）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，……按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数是     粒。2n+1
6. (2010怀化)有一组数列：2，，2，，2，，2，，…… ，根据这个规律，
那么第2010个数是    __．　
7. (2010巴中)符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）=0，f(2) = 1，f（3）=2，f（4）= 3，……
（2）……
利用以上规律计算： .1
8.(2010舟山)图（1）是面积都为S的正边形（），图（2）是由图（1）中的每个正
多边形分别对应“扩展”而来。如：图（2）中的a是由图（1）中的正三角形的每边长三等
分，以居中的一条线段向外作正三角形，并把居中线段去掉而得到；图（2）中的b是由图
（1）中的正四边形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正四边形，并把居中线段去
掉而得到 … ，以此类推，当图（1）中的正多边形是正十边形时，图（2）中所有“扩展”
后的图形面积和为248。则S的值是 。18
9.AB
AD
（2010上海）如图1，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O 设向量 =， =，则向量.（结果用、表示）

10.（2010恩施）如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，
第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果层六边形点阵的总点
数为331，则等于 .11

11. (2010河北)把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，
底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2
摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）． =

12.(2010德州)电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC
边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1= CP0；第
二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2= AP1；第三步从P2跳到BC边的P3
（第3次落点）处，且BP3= BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n
为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为_________．2
A
B
C
P0
P1
P2
P3

13.（2010常德）如图，一个数表有7行7列，设表示第i行第j列上的数（其中i=1,2,3,...,j=1,2,3,...,）.例如：第5行第3列上的数.
则（1）
(2)此数表中的四个数满足
（1）0 （2）0

14.(2010红河)如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1 A1、 A1B1的中点，…，按此规
律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 3n 个.

…

15.（２０１０荆州）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是 ．3n+2

16.（2010宿迁）直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过
3次这样的操作后,直线上共有 ▲ 个点. 16073
17. (2010青岛)如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案
需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需
要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．127,
…

18. （2010 柳州 ）2010年广州亚运会吉祥物取名“乐羊羊”．图7中各图是按照一定规律排列的羊的组图，图有1只羊，图有3只羊，……，则图⑩有　　　　只羊．55

19.（2010沈阳）在平面直角坐标系中，点A1(1，1)，A2(2，4)，A3(3，9)，A4(4，16)，…，用你发现的规律确定点A9的坐标为 (9，81)
20.
20.（2010甘肃）观察：，…，则
(n=1，2，3，…).
21.（2010肇庆）观察下列单项式：a，－2a2，4a3，－8a4，16a5，…．按此规律，第n个单项式是 (n是正整数)．
22.（2010包头）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标是 ．
23.（2010包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．或
24. (2010鄂尔多斯).如图，用小棒摆下面的图形，图形（1）需要3根小棒，图形（2）需要7根小棒……照这样的规律继续摆下去，第个图形需要__________根小棒（用含的代数式表示）．

25. （2010曲靖）把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间一个小三角形，对剩下的三个第二次
第一次
第三次
第四次
…
小正三角形再重复以上做法……一直到第次挖去后剩下的三角形有________个.
26.

三.解答题
1.（2010台州）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当
于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（）=1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，
平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则
把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法
运算法则为．
解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”
{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”
{3，1}平移，最后的位置还是点B吗? 在图1中画出四边形OABC.
②证明四边形OABC是平行四边形.
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
（第22题）
y
O
图2
Q（5, 5）
P（2, 3）
y
O
图1
1
1
x
x

（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．
y
O
1
1
x
A
B
C
{1，2}+{3，1}={4，3}．
（2）①画图
最后的位置仍是B．
② 证明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）
∴OC=AB==，OA=BC==，
∴四边形OABC是平行四边形．
（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．
2.（2010凉山州）先阅读下列材料，然后解答问题：
材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为。
一般地，从个不同的元素中选取个元素的排列数记作。
（≤）
例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：。
材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为 。
一般地，从个不同的元素中选取个元素的排列数记作。
（≤）
例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：。
问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？
（2）从7个人中选取4人，排成一列，有多少种不同的排法？
3.(2010青岛)问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.
O
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个
正六边形的内角．
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
，整理得：，
我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 ．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：

结论2：
．
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．
问题拓广
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3： .
验证3：

结论3：
.
解：3个； 1分
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼
成一个周角．根据题意，可得方程：
．
整理得：，
可以找到两组适合方程的正整数解为和． 3分
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或
者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时
用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 5分
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶
嵌？ 6分
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形
的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：
，
整理得：，
可以找到惟一一组适合方程的正整数解为. 8分
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.）
4. （2010宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱
数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模
型，解答下列问题：

正十二面体
正八面体
长方体
四面体

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
7

长方体
8
6
12
正八面体

8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________。
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________。
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值。
4.（2010沈阳）阅读下列材料，并解决后面的问题：
★ 阅读材料：
(1) 等高线概念：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线。
例如，如图1，把海拔高度是50米、100米、150米的点分别连接起来，就分别形成50
米、100米、150米三条等高线。
(2) 利用等高线地形图求坡度的步骤如下：(如图2)
步骤一：根据两点A、B所在的等高线地形图，分别读出点A、B的高度；A、B两点
的铅直距离=点A、B的高度差；
步骤二：量出AB在等高线地形图上的距离为d个单位，若等高线地形图的比例尺为
1：n，则A、B两点的水平距离=dn；
步骤三：AB的坡度==；
圖1
150米
100米
50米
B
小明家A
小丁家C
P學校
100米
200米
300米
400米
B
A
C
鉛直距離
水平距離
圖2
圖3

★请按照下列求解过程完成填空，并把所得结果直接写在答题卡上。
某中学学生小明和小丁生活在山城，如图3(示意图)，小明每天上学从家A经过B沿着
公路AB、BP到学校P，小丁每天上学从家C沿着公路CP到学校P。该山城等高线地形图
的比例尺为1：50000，在等高线地形图上量得AB=1.8厘米，BP=3.6厘米，CP=4.2厘米。
(1) 分别求出AB、BP、CP的坡度(同一段路中间坡度的微小变化忽略不计)；
(2) 若他们早晨7点同时步行从家出发，中途不停留，谁先到学校？(假设当坡度在到之
间时，小明和小丁步行的平均速度均约为1.3米/秒；当坡度在到之间时，小明和小
丁步行的平均速度均约为1米/秒)
解：(1) AB的水平距离=1.8´50000=90000(厘米)=900(米)，AB的坡度==；
BP的水平距离=3.6´50000=180000(厘米)=1800(米)，BP的坡度==；
CP的水平距离=4.2´50000=210000(厘米)=2100(米)，CP的坡度= j ；
(2) 因为<<，所以小明在路段AB、BP上步行的平均速度均约为1.3米/秒。
因为 k ，所以小丁在路段CP上步行的平均速度约为 l 米/秒，斜坡
AB的距离=»906(米)，斜坡BP的距离=»1811(米)，斜
坡CP的距离=»2121(米)，所以小明从家到学校的时间=
=2090(秒)。小丁从家到学校的时间约为 m 秒。因此， n 先到学校。

解：j k << l 1 m 2121 n 小明