二次函数知识点(大全).doc

函数知识点
一、平面直角坐标系
（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
x
y
0
第一象限
（+，+）
第二象限
（－，+）
第四象限
（+，－）
第三象限
（－，－）
1
1
-1
-1

图1
（2）特殊位置上点的坐标特点：
①点P(x，y)在x轴上 y=0；
点P(x，y)在y轴上 x=0；
②点P(x，y)在第一、三象限角平分线上 x=y；
点P(x，y)在第二、四象限角平分线上 x+y=0;
③点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)；
点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)；
点P(x，y)关于原点对称的点的坐标是(－x，－y)；
二、一次函数
（1）一般地，如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么，y叫做x的一次函数。
特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。
(2)一次函数的图象是一条直线。由几何知识可得，要画一条直线只要知道两点就可以了。所以一次函数图象的方法是：只要先描出两点，再连成直线就可以了。
X画正比例函数y=kx的图象，通常取（0，0）和（1，k）两点连成直线。
x
0
1
y

画一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象，通常选取和两点连成直线。通常，我们把一次函数y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b。
x
0

y

0

直线的倾斜形态与k的关系如下：k相等时， y＝kx＋b（k≠0）与y＝kx（k≠0）的图象是两直平行线。
（3）一次函数的性质：
一般地，正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b都有下列性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。

直线所经过的象限与k、b的关系：
示意图

k、b的符号
k＞0
k＞0
b＞0
b＜0
b＞0
b＜0
直线y＝kx＋b所经过的象限
一、二、三
一、三、四
一、二、四
二、三、四
直线y＝kx＋b不经过的象限
四
三
二
一
（4）一次函数解析式的确定：
在正比例函数y=kx（k≠0）中，只要求出k的数值，这个正比例函数解析式就求得。所以求y=kx（k≠0）所需条件是一个点坐标。
由于一次函数y=kx+b（k≠0）中需要求出k与b的数值，所以需要两个点的坐标（或说两个相互独立的条件），代入解析式中，得到关于k与b的二元一次方程组，通过解方程组求出k与b的数值。
（5）掌握求两直线交点坐标的方法：已知交点，代入解析式；未知交点，建立方程组。
三、反比例函数知识要点：
（1）如果y=(或y=kx或xy=k)(k≠0)，那么y叫做x的反比例函数。
注意反比例函数有三种不同表现形式：①y=(k≠0)；②y=kx(k≠0)；③xy=k(k≠0)。自变量x的取值范围是x≠0的实数。在反比例函数中，两个变量成反比例关系。因此，判定两个变量是否成反比例关系，看是否能写成反比例函数关系，即两个变量的积是不是一个不为0的常数。
（2）反比例函数y=(或y=kx或xy=k)(k≠0)的图象是由两条曲线组成，叫做双曲线，它们关于原点成中心对称。反比例函数的图象是两条双曲线，两条双曲线既不过原点，又与两个坐标轴不相交（因为xy≠0），它只是无限接近x轴和y轴。用描点法画反比例函数图象时，可先画一个分支，由两个分之关于原点对称的性质，再画另一个分支。要注意两个分支不能相连，即两个分支是断开的。
（3）反比例函数解析式的确定。因为反比例函数解析式y=(k≠0)，只含有一个待定系数，所以要确定函数解析式，只需要已知图象所经过的一个点的坐标即可。
（4）反比例函数性质的学习要结合图象进行。k>0时，反比例函数y=(或y=kx)的图象在一、三象限，函数y在每个象限内随x的增大而减小。k<0时，反比例函数y=(或y=kx)的图象在二、四象限，函数y在每个象限内随x的增大而增大。
y
x
O
P
M
N
图2
（5）反比例函数y=(或y=kx)(k≠0)中比例系数k的几何意义是：过双曲线上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=。如果再连结PO，则。如图2。

四、二次函数
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
(2)函数的图象与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点
3.二次函数 的图象是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.
二次函数的性质
（1）. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，
有最小值．
( 2). 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，
有最大值．
4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤.
5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①决定抛物线的开口方向：
当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：
∴顶点是，对称轴是直线.
(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，
对称轴是直线.
平移规律：上+下-，左+右-
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
7.抛物线中，的作用
(1)决定开口方向
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：
①时，对称轴为轴；
②(即、同号)时,对称轴在轴左侧；
③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
“左同右异”
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点;
②,与轴交于正半轴；
③,与轴交于负半轴.

8.几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)

(轴)
(0, )

(,0)

(,)

()
9.用待定系数法求二次函数的解析式
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
(1)一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
10.直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线得交点为()
(2)抛物线与轴的交点
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
二次函数图象与轴的交点个数由一元二次方程的根的情况决定：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．
这两点间的距离
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

(3)一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程组
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时两个图象有两个交点;
②方程组只有一组解时两个图象只有一个交点；
③方程组无解时两个图象没有交点.
11.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

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