北京市石景山区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学理科.doc

石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）

考生须知
1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．
2. 本试卷共6页．各题答案均答在答题卡上．

题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数，则复数的模为（　　）
A．
B．
C．
D．+
3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：），
则此几何体的体积是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．从名男同学和名女同学中，任选名同学参加体能测试，
则选出的名同学中，既有男同学又有女同学的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．

5．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若，则”的逆命题是真命题
B．命题“，”的否定是：“，”
C．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题
D．已知，则“”是“”的充分不必要条件
6．已知函数的图象如图所示，

则等于（　　）
A．
B．
C．
D．
7．已知为坐标原点，点与点关于轴对称，，则满足不等式
的点的集合用阴影表示为（ ）

图1
图2
图3
8．下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作．

则下列命题中正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C．在其定义域上单调递增 D．的图象关于轴对称

第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
9．已知，，则＝ ．
10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果
输入，则输出的结果为 ，
如果输入，则输出的结果为 ．

11．已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ，离心率为_______．
12．已知△的三边长分别为，， ，则的值为________．
13． ．

14．已知函数，则 ，若
，则 （用含有的代数式表示）．

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）在中，若，，求的值．
16．（本小题满分13分）
某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别
从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为，“实用性”得分为，统计结果如下表：
作品数量

实用性
1分
2分
3分
4分
5分

创
新
性
1分
1
3
1
0
1
2分
1
0
7
5
1
3分
2
1
0
9
3
4分
1

6
0

5分
0
0
1
1
3
（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；
（Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为，求、的值．

17．（本小题满分14分）
已知直四棱柱，四边形为正方形，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设为中点，为棱上一点，
且，求证：∥平面；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角的余弦值．

18．（本小题满分13分）
已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是
椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．
求证：直线过定点，并求出定点的坐标．

19．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的极值；
（Ⅲ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．

20．（本小题满分14分）
如图，，，，
是曲线上的个点，点在轴的正半轴上， 是正三角形(是坐标原点) .
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求出点的横坐标关于的表达式；
（Ⅲ）设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
y
x
O
A0
P1
P2
P3
A1
A2
A3

石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案

，
，

，
注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
． ……………4分
（Ⅱ）

． ……………6分
， ．
当时，即时，的最大值为． …………8分
（Ⅲ），
若是三角形的内角，则，
∴．
令，得，
∴或，
解得或． ……………10分
由已知，是△的内角，且，
∴，，
∴． ……………11分
又由正弦定理，得． ……………13分

16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为分且实用性为分”的作品数量为件，
∴“创新性为分且实用性为分”的概率为． …………4分
（Ⅱ）由表可知“实用性”得分有分、分、分、分、分五个等级，
且每个等级分别有件，件，件，件，件． …………5分
∴“实用性”得分的分布列为：

又∵“实用性”得分的数学期望为，
∴． ……………10分
∵作品数量共有件，∴
解得，． ……………………13分
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵四棱柱为直四棱柱，
∴ ，，，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，，，
∴ .
∴ .
又∵ ，
∴ . ……………………4分
（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，
为 轴，建立空间直角坐标系.
∴ ，，，.
∵ 由（Ⅰ）知：为面的法向
量，， ……………………6分
∵ .
∴ .
又∵面，
∴ ∥面. ……………………8分
（Ⅲ） 设平面的法向量为，则
，.
∵ ,即.
,即.
令，解得：，，
∴ . ……………………12分
∴ .
∴ 二面角的余弦值为. ……………………14分
18．（本小题满分13分）
解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则
解得
∴ 椭圆C的标准方程为 ． ………………… 4分
（Ⅱ）由方程组 消去，得
． ………………… 6分
由题意△，
整理得： ① ………………7分
设，则
， ． ………………… 8分
由已知，， 且椭圆的右顶点为，
∴　．　　 　　………………… 10分
即 ，
也即 ，
整理得．
解得 或 ，均满足① ……………………… 11分
当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；
当时，直线的方程为 ，过定点，
故直线过定点，且定点的坐标为． ……………………… 13分

19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ） ∵，
∴且． ……………………… 1分
又∵，
∴． ……………………… 3分
∴在点处的切线方程为：，
即． ……………………… 4分

（Ⅱ）的定义域为，，……………………… 5分
令得．
当时，，是增函数；
当时，，是减函数； …………………… 7分
∴在处取得极大值，即．……… 8分
（Ⅲ）（i）当，即时，
由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数，
∴当时，取得最大值，即．
又当时，，当时，，
当时，，
所以，的图像与的图像在上有公共点，
等价于，解得，
又因为，所以． ……………… 11分
（ii）当，即时，在上是增函数，
∴在上的最大值为，
∴原问题等价于，解得，
又∵ ∴无解
综上，的取值范围是． ……………… 13分

20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）. …………………………… 3分
y
x
O
A0
P1
P2
P3
A1
A2
A3
（Ⅱ）依题意，则
，
在正三角形中，有
.
. ………………………… 5分
，
①，
同理可得 ②.
②-①并变形得

，
.
∴数列是以为首项，公差为的等差数列.
， ，
. …………… 8分
（Ⅲ）∵，
∴.

.
∴当时，上式恒为负值，
∴当时，，∴数列是递减数列.
的最大值为. ……………… 12分
若对任意正整数，当时，不等式恒成立，
则不等式在时恒成立，
即不等式在时恒成立.
设，则且，
∴
解之，得 或，
即的取值范围是. …………………… 14分

注：若有其它解法，请酌情给分．

高三数学（理科）试卷第14页（共14页）