数学冲刺140分最后大题精讲520081018_3918731_0.doc

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高考数学140分必读之把关题解析30讲（5）
1．北京丰台区二模
19. （本小题满分14分）
设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2。
（I）求此双曲线的渐近线的方程；
（II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且。若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
解：（I）

，渐近线方程为 4分
（II）设，AB的中点

则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆。（9分）
（III）假设存在满足条件的直线
设

由（i）（ii）得
∴k不存在，即不存在满足条件的直线。 14分

20. （本小题满分13分）
已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且。
（I）求证数列是等比数列；
（II）设数列的公比，数列满足：
，试问当m为何值时，
成立？
解：（I）由已知
（2）
由得：，即对任意都成立

（II）当时，

由题意知
13分
2．石家庄模拟
21．（本小题满分12分）
设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．
解：（1）设点其中．
由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分
∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分
而，
∴．．②，　　　　　　　　　　　5分
由①②知．
∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
（2）满足条件的圆心为，
，　　　　　　　　　　　　　　8分
圆半径．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
由圆与直线：相切得，，
又．
∴椭圆方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

22．（本小题满分14分）
（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．
（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．
（理）解：设公差为，则．　　3分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分
又．
∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
∴．　　　　　　　　　　　　13分
当数列首项，公差时，，
∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　14分
（文）解：设公差为，则．　　　3分

，　　　　　　　　　　　6分
又．
∴．
当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
∴．　　　　　　　　　　　　　13分
当数列首项，公差时，．
∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分
3．唐山二模
21．（本小题满分12分）
垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.
解（Ⅰ）证明：
　　　　①
直线A2N的方程为 ②……4分
①×②，得

（Ⅱ）
……10分

当……12分
22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若
（Ⅱ）若
（Ⅲ）若的大小关系（不必写出比较过程）.
解：（Ⅰ）

（Ⅱ）设

……6分

（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时
当k为奇数时……14分

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