数形结合思想-领军教育.doc

专题 数形结合思想
一、考点回顾
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。

二、经典例题剖析
1．选择题
1
。
O
y
x
1
图1
（1）（2007浙江）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A． B．
C． D．
解析：因为是二次函数，值域不会是A、B，画出函数的图像（图1）易知，当值域是时，的仁政域是，答案：C。
点评：本题考查函数的图像、定义域、值域，是高考的一个重点，考题多以小题形式出现。
（2）（2007黄冈模拟）平面直角坐标系中，若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是 （ ）
A.（0，5） B.（1，+） C.（0，1） D.（5，+）
解析：分析方程的结构特点，联想椭圆第二定义，可知应把左右两边分别化为两点间的距离和点到直线的距离：
，
即时表示椭圆，解得m>5,故选 D。
点评：本题考查椭圆的第二定义，考查数形结合和综合运用解析几何知识分析解题的能力。
2．设A={x||x|=kx+1},若A∩R+=φ,A∩R-≠φ,求实数k的取值范围．
解法1:方程|x|=kx+1的解是函数y=|x|和y=kx+1交点的横坐标,结合图形知（如图2）,当直线y=kx+1在角α范围内时,方程有负根,且没有正根,故k≥1．
a
y=|x+1|
y=|x|
y
-1
1
o
x
图2
解法2:由题意须 ①有解,
②无解．
①中k=-1时无解,;
②中k=1时无解,k≠0时,若则②有解,
所以, k≥1．
点评：解法1中，把方程解的讨论问题转化为两个函数图像交点的问题，利用k的几何意义易得解，这是最常用的方法，较之法2要简捷得多，体现了数形结合的优越性。
3．设集全，且，求有序集合组{A，B，C}的个数(不同的顺序算不同的组)。
1,3
B
A
C
⑤
①
④
③
②
U
图3
解析：借助文氏图（图3）可知，三个集合A、B、C把全集U分成八个部分，需按1、3是否属于C分类，再把2、4、5三个数放到如图中①②③④⑤五个位置即可，每一种放法对应一个有序集合组。
按1、3是否属于C分四类：
(1)1、3C; (2)1∈C且3C;
(3)3∈C且1C; (4)1、3∈C
共有53×4=500种。
点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题思路清晰，分类清楚，易于操作。

y
x
0

图4
4． 解三角不等式组
分析：利用三角函数的图像或三角函数线（如图4）求解,先求出一个周期上的解再写出全部。
解答：
由图得解集为：
点评：三角函数图像和三角函数线，是处理三角函数值大小问题的两个有力武器，用好它会使解题简捷、高效。
5．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，反映了变量x、y之间的对应关系，但还不一定是函数关系，函数中一个x只能对应唯一确定的y，即图像上看不能有“上下重叠”的点。但加上条件xy＜0呢？画出图形（如图5）则一目了然。
x
O
y
图5
解：，故
解得，
又

因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪)3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．
点评：本例考查对函数概概念的理解，揭示了函数与解析几何中方程的内在联系——任何一个函数的解析式都可看作一个方程，但方程中x与y的对应关系未必是一个函数．要要处理好这个关系，又如：
（2006全国I.20）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程； [（Ⅱ）的最小值]。
解:（I）……易得椭圆方程的方程为: (x>0,y>0)
P
B
A
O
y
x
M
图6
下面想要通过导数确定过第一象限点P(x0,y0) （0<x0<1）切线的斜率，就要建立x与y的函数关系，结合图形（如图6）可知：
y=2(0<x<1) （而不能是）
又,,
所以切线AB的方程为:
从而，又，设M（x,y)
由=+可得M的轨迹方程为： + =1 (x>1,y>2)
6．已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β．证明:
(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│a│<4+b且│b│<4;
(Ⅱ)如果2│a│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2．

y
o
-2
2
x

图7
分析：借助函数图像讨论方程的解是很直观有效的方法，由函数y=x2+ax+b的图像（如图7）易知│α│<2,│β│<2,
证明：根据韦达定理│b│=│αβ│<4．
因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2．
故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0, 2a>-(4+b);
4-2a+b>0, 2a<4+b．
∴2│a│<4+b．
(Ⅱ)由 2│a│<4+b 得 4+2a+b>0
即 22+2a+b>0 f(2)>0． ①
及 4-2a+b>0 即 (-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0． ②
由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外．若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾．
若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾．
综上所述α,β均落在(-2,2)内．
∴│α│<2,│β│<2．
点评：这是1993年全国高考题的压轴题,标准答案中给的第一解法是利用求根公式写出两根,再由已知求出的范围,再转化为a、b的关系，有一定的难度。但是利用数形结合，由二次函数的图象讨论实根分布问题，就容易多了，其压轴功能就大打了折扣。
7．求函数的值域。
分析：本题需要去绝对值化为分段函数，再按直线x=a相对于两个抛物线的对称轴的位置分类讨论，借助于图象可有效帮助解题。
解：
_
图8

O
y
x
_
1
2
_
-1
2
a

（1）当时，如图8知
a
_
-1
2
_
1
2
x
y
O
图9

（2）当时，如图9
知

_
图10
O
y
x
_
1
2
-1
2
a
（3）当时，如图10
知，
综上所述：当时，值域为
当时，值域为
当时，值域为
点评：分段去绝对值，数形结合，分类讨论。
8．（2006福建）已知函数
（I）求在区间上的最大值
（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
分析：本题是利用导数方法讨论单调性、最值和方程的解的问题，这些都离不开函数的图象，要通过画图或想着图一步步解答。
O
y
t
t+1
x=4
x
图11
解：（I）
当时，（如图11）在上单调递减，

当即时，
当即时，在上单调递增，

综上，
（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点（如图12），即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
O
y
x=4
y
y=g(x)
x
图12

当时，是增函数；
当时，是减函数；
当时，是增函数；
当或时，

当充分接近0时，当充分大时，
要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
　　即
所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为
点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

三、方法总结与2008年高考预测
（一）方法总结
1．数形结合，数形转化常从一下几个方面：
（1）集合的运算及文氏图
（2）函数图象，导数的几何意义
（3）解析几何中方程的曲线
（4）数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等；
2．取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。
（二）2008年高考预测
1．在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是选择、填空等小题。
2．从近三年全国高考卷来看，全国卷与其它省市卷相比，涉及数形结合的题目略少，预测2008年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是考纲明确的一个命题方向。

四、强化训练
（一） 选择题
1．设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2007浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．

3．（2007安徽）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2005福建）设的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
5．(2006湖南）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )
A．[] B．[] C．[ D．

6．（2007安徽）．函数的图象为，
①图象关于直线对称；
②函数在区间内是增函数；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
以上三个论断中，正确论断的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2007浙江）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．（2005辽宁）已知是定义在R上的单调函数，实数， ，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2006北京）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
10．（2006辽宁）直线与曲线 的公共点的个数为 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
11．（2007天津）．在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则 （ ）
Ａ．在区间上是增函数，在区间上是增函数
Ｂ．在区间上是增函数，在区间上是减函数
Ｃ．在区间上是减函数，在区间上是增函数
Ｄ．在区间上是减函数，在区间上是减函数
12．（2007全国II）．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．3

（二） 填空题
1．若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为____。
2．（2006浙江）对,记则则函数
的最小值是　　．
3．（2006湖北）关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是________
4． 设奇函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式f［x(x-)］＜0的解集是______________
（三） 解答题
1．若不等式的所有m都成立。求x的取值范围。
2．求函数的最大值。

3．（2006春上海） 设函数．
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合． 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方．

4． 已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：
．
5． 已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．
6．（2006浙江）设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0, ,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根．

（四） 创新试题
1．
2． 设函数＝ｘ2+8x+3 (<0),对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区间［０，］上，不等式｜｜≤５都成立。问为何值时最大？求出这个最大的，证明你的结论。

解析答案：
选择题：1-12：ADCCB CBAAD BB
填空题：
1．画出的图象可知，有四个交点则；
y=|x+1|
|
y=|x-2|
y
-1
2
o
x
2．解析：由，
如右图
3．设u=x2-1,化原式为：，
画出函数的图象，看使u≥-1的解的个数，可知假命题的个数为0。
y
-1
O
1
x
4．解析：由已知画出y=f(x)的图象可知：
当x∈(-1，0)∪(1，+∞)时f(x)＞0
当x∈（-∞，-1）∪(0，1)时 f(x)＜0
又x(x-)=(x-)2-≥-＞-1
∴f〔x(x-)〕＜0成立，则必有
0＜x(x-)＜1,解之得：＜x＜0或＜x＜

解答题
1．解：原不等式化为（x2-1）m-（2x-1）＜0记f（m）=（x2-1）m-（2x-1）
（-2≤m≤2），其图像是线段。结合图像和题意知，只须：
f（-2）=-2（x2-1）-（2x-1）＜0
f（2）=2（x2-1）-（2x-1）＜0
即 2x2+2x-3＞0
2x2-2x-1＜0
解之，x的取值范围为
2．解：由定义知1-x2≥0且2+x≠0
∴ -1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈[0，π]，则有可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])与定点A（-2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程，θ∈[0，π]，即x2+y2=1（y∈[0，1]是半圆。
设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2
∴ ，∴0≤kAM≤
即函数的值域为[0，]，故最大值为。
3．解:（1）

（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此
．
由于．
（3）解法一：当时，．

，
． 又，
① 当，即时，取，
．
，
则．
② 当，即时，取， ＝．
由 ①、②可知，当时，，．
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方．
解法二：当时，．
由 得，
令 ，解得 或，
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；当时，的图像与函数的图像没有交点．
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到． 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方．
4．分析：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程．进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上．还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题．
证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,
sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图．
从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2
=2–2cos(α–β)
又∵单位圆的圆心到直线l的距离
由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即

∴．

5．分析 用数形结合思想求f（x）－f（a）=0解的个数．
解 （1）由已知，设f1（x）=bx2，由f1（x）=1，得b=1．∴f1（x）=x2．
设f2（x）=（k＞0），则其图象与直线y=x的交点分别为A（k，k），B（－k，－k），由|AB|=8，得k=8，
∴f2（x）=，故f（x）=x2+．
（2）由f（x）=f（a），得x2+=a2+，
即=－x2+a2+．
在同一坐标系内作出f2（x）=和f3（x）=－x2+a2+的大致图象（如图所示），其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3（x）的图象是以（0，a2+）为顶点，开口向下的抛物线．f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解．
又∵f2（2）=4，f3（2）=－4+a2+，当a＞3时，
f3（2）－f2（2）=a2+－8＞0，
∴当a＞3时，在f3（x）第一象限的图象上存在一点（2，f3（2））在f2（x）图象的上方．
∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．
故方程f（x）=f（a）有三个实数解．
6．证明：（I）因为f(0)>0,f(1)>0，所以c>0,3a+2b+c>0
由条件，消去，得；
由条件，消去，得，．
故．
（II）抛物线的顶点坐标为，
在的两边乘以，得．
又因为
而
所以方程在区间与内分别有一实根
故方程在内有两个实根．

创新试题
1．解：

，
它与椭圆在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）
相切于第一象限时，u取最大值

2．解：＝，∵<０∴max=
当>５，即－８<<０时，０<<－　　（如图１）
∴是方程ｘ2+8x+3＝５的较小根＝
-5
Ｏ

x
ｙ
图２

x
o
ｙ
５
图１

≤５，即≤－８时，>－　（如图２）
∴是方程ｘ2+8x+3＝－５的较大根＝＝，当且仅当＝－８时等号成立，由于>，
因此当且仅当＝－８时，取最大值。
点评：本题是典型的函数、方程、不等式的综合问题，数形结合利于开拓思路，找到解决办法。

五、复习建议
1．加强对数学概念的复习，深刻理解定义以及数、式的几何意义，真正夯实双基；
2．加强作图能力的训练，解题先想图，以图助解题，养成数形结合的习惯；
3．注意知识间的联系、综合与交汇，提倡一题多问，一题多解，多题一解，培养发散思维和归纳概括的习惯，重视数学思想方法在解综合题中的指导作用。
17