高三文科数学022.doc

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期数： 0510 SXG3 022
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇十七 高三文科数学总复习十二
——二次函数

【学法引导】
二次函数与二次方程、二次不等式之间有着密切的联系，在高中数学中应用十分广泛，要深刻理解它们之间的关系，会用函数的思想研究方程和不等式，也就抓住了问题的关键。以二次函数为背景的命题仍是高考的热点.
【基础知识概要】
形如的函数为二次函数，其图象为一条抛物线，对称轴为，顶点为.
当a＞0时，抛物线的开口向上，函数在上为减函数，在上为增函数，当时，y有最小值；
当a＜0时，抛物线的开口向下，函数在上为增函数，在上为减函数，当时，y有最大值.
另外，当且仅当b=0时，二次函数是偶函数.
利用二次函数的有关性质与其图象之间的关系，可以解决相应的二次不等式、二次方程等问题.

【应用举例】
例1 设.
（1）当R时，恒成立，求a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围.
解：（1）由得,0对R恒成立，因此，，
解得－6≤a≤2；
（2）.分以下三种情况讨论：
当，即a＞4时，f(x)的最小值为，∴7－2a≥a，∴a≤，无解.
当，即－6≤a≤2，f(x)有最小值，，解得－6≤a≤2,
∴此时－4≤a≤2,
当，即a＜－4时，f(x)的最小值为，
解得a≥－7，此时，－7≤a≤－4.
综上所述，a的取值范围是－7≤a≤2.
例2 已知≤a≤1，若在区间[1,3]上的最大值为，最小值为，令.
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值.
解：（1），对称轴为，
∵≤a≤1，∴1≤≤3.
讨论：当1≤≤2时，即≤a≤1时，，，
∴，
当2≤≤3时，即≤a≤时，
，
∴.
综上所述，
（2）由（1）知，g(a)在上是减函数，在上是增函数，
∴当时，g(a)有最小值.
例3 已知f(x)是周期为2的函数，且在[－4,－2]上，.
（1）求f(x)在[0,2]上的表达式；
（2）若矩形ABCD的顶点A、B分别为、（其中0＜t≤1，又点C、D在函数(0≤x≤2)的图象上，求矩形ABCD面积S的最大值.
解：（1）当时，，则
，
∴当时，.
（2）∵ABCD为矩形，，
∴，
∴，
∴（其中），
令，得，
当时，；当时，，
∴当时，S有最大值.

【强化训练】
一、选择题
1．二次函数的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．已知函数在区间上是增函数，则f(1)的范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若为偶函数，则f(x)在区间[－3,1]上（ ）
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
4．在区间上，函数与在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是（ ）
A． B．4 C．8 D．
二、填空题
5．如果函数在区间[0,3]上有最小值－2，那么实数a的值为_______.
6．已知g(x)是一次函数，且在R上是增函数，若，则=__________.
7．若函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是_____.
8．若方程的一个根大于1，一个根小于1，则m的取值范围是_________.
三、解答题
9．已知二次函数f(x)的二次项系数为负数，对任意实数x恒有，解不等式.
10．已知，且，求实数a的取值范围.
参考答案
一、1．B 2．A 3．C 4．B
二、5．－2
6．2x－5
7．1≤m≤2
8．－2＜m＜4
三、9．解：设
∵，
∴抛物线的对称轴为x=2，
又a＜0，∴f(x)在上是增函数，
∵，，且，
∴，
∴，
∴原不等式的解集为.
10．解：，设，
（1）当时，即0＜a＜1时，，则；
（2）当时，a=0或a=1，
若a=0，则，B={0}，不合题意；
若a=1，则，B={1}，满足.
（3）当时，a＞1或a＜0，，
由，得此不等式组无实数解，
综上所述，0＜a≤1.
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