映射、函数、反函数、函数图象及对称变换.doc

中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
2．映射、函数、反函数、函数图象及对称变换
一． 基础知识自测题：
1．如果给定一个从集合A到集合B的的映射f：A B，那么和A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象；a叫做b的原象，它们之间的关系可记做f：a b。
2．如果在某变化过程中有两个变量x, y，并且对于x的每一个确定的值，按照某种对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么称变量y是变量x的函数；记做y＝f (x)。
3．函数的三种表示方法是列表法、图象法、解析式法。
4．下列各对函数中表示同一函数的是 ④、⑤ 。
① f (x)＝, g(x)＝x; ② f (x)＝x, g(x)＝; ③ f (x)＝, g(x)＝
; ④ f (x)＝x, g(x)＝; ⑤ f (x)＝|x＋1|, g(x)＝。
5．函数y＝f (x)的图象和它的反函数y＝f (x)的图象关于直线y＝x对称。
6．若函数y＝f (x)的定义域是A，值域是B，且函数y＝f (x)存在反函数y＝f (x)，则y＝f (x)的定义域是 B ，值域是 A 。
7．若函数y＝f (x)存在反函数，则方程f (x)＝m（m为常数）（ C ）。
（A）有且只有一个实根（B）至少有一个实根（C）至多有一个实根（D）没有实数根
8．在同一坐标系内，函数y＝x和y＝x＋的图象可能是（ C ）。
（A） （B） （C） （D）
9．从集合A到集合B的对应法则是f：x y＝x2, 在下列情况下使f成为一一映射的是（ D ）。
（A）A＝R, B＝R （B）A＝R, B＝ （C）A＝, B＝R （D）A＝, B＝
二． 基本要求、基本方法：
1． 了解映射的概念，在此基础上判断一个对应是否为映射。
2． 理解函数及其有关概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数。
3． 理解反函数的概念掌握求反函数的基本方法。
4． 掌握画函数图象的基本方法，会画简单的函数图象，能根据函数的图象识别函数。
例1．(1)已知f (x)＝, g(x)＝x＋1，求f [g(x)],g[f (x)]。
(2)已知g(x)＝1－x2,且当x>0时，f [g(x)]＝,求f ()。
解：(1) f [g(x)]＝＝, g[f (x)]＝f (x)＋1＝；
(2) 令g(x)＝1－x2＝, 得x＝>,∴ f ()＝f [g()]＝＝。
评注：复合函数是正确理解函数关系的重要工具，要灵活掌握各种方法。
例2．在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)移动，设P点移动的路程为x，△APB的面积是y，
(1) 求面积y关于路程x的函数解析式；
(2) 做出函数y＝f (x)的图象；
(3) 判断f (x)是否存在反函数。
解：(1) 若0≤x≤4，则S△APB＝2x；若4<x≤8，则S△APB＝8；
若8<x≤12，则S△APB＝24－2x.
∴ f (x)＝。 (2)函数的图象如右。
(3) f：x y 的映射不是一一映射，y＝f (x)不存在反函数。
评注：分段解决函数问题，把函数与它的图象结合在一起处理，加深对函数概念的理解，加强函数的直观性。
例3．函数f (x)＝ (c≠0, 且ad≠bc),当a, b, c, d满足什么条件时f (x)与它的反函数是同一个函数。
解：y＝, cxy＋dy＝ax＋b,得 x(cy－a)＝b－dy, ∵cy－a≠0, ∴x＝,
∴ 原函数的反函数是y＝, 故当d＝－a时，分f (x)与它的反函数是同一函数。
评注：要求熟练掌握求反函数的方法，同时注意求反函数时的条件处理。
三． 基本技能训练题：
1．函数y＝x＋的图象是（ C ）。
（A） （B） （C） （D）
2．已知函数f (x)＝ (x≠－)满足f [f (x)]＝x, 则c等于 －3 。
3．已知A＝{1, 2}, B＝{3, 4},可以组成不同的从A到B的映射有 4 个。
4．已知f (x＋1)＝x2－3x＋2, 则f (x)＝ x2－5x＋6 。
5． 若f (x)＝3x－5, f [g(x)]＝x－3，则g(x)＝ 。
6． 已知对于任意的x∈R,总有f (x＋2)＝f (2－x),若f (x)＝0时，恰有两个不同的实数根，则这两个实数根的和为 4 。
7． 把函数y＝的图象向左平移2个单位，再把横坐标变为原来的倍，所得图象对应函数的解析式是。 四．试题精选
（一）选择题：
1．对于下面四个命题，其中正确的有（ A ）个。
① f (x)＝是关于x的函数; ② 函数是从定义域到值域的一个映射；
③ 函数y＝2x (x∈N)的图象是一条直线； ④ 函数y＝的图象是抛物线。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2．已知(a, b)在映射f下的象是(a－b, a＋b), 那么(2, 4)在f下的原象是（ B ）。
（A）(―3, ―1) （B）(3, 1) （C）(, ) （D）(－, －)
3．集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{5, 6, 7}，从集合A到集合B且集合B中的元素均为象的映射有（ D ）。
（A）81个 （B）72个 （C）64个 （D）36个
4． 设f (x)＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋5，a, b, c∈R, 如果f (－7)＝－17，则f (7)＝（ C ）。
（A）7 （B）14 （C）27 （D）22
5．已知函数f (x)满足f (1＋sinx)＝sin2x，则f (1＋sinx)与f (1－sinx)的大小关系是（ C ）。
（A）f (1＋sinx)>f (1－sinx) （B）f (1＋sinx)<f (1－sinx)
（C）f (1＋sinx)＝f (1－sinx) （D）视x的取值而定
6．共有三个函数，第一个是y＝f (x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x＋y＝0 对称，则第三个函数是（ B ）。
（A）y＝－f (x) （B）y＝－f (－x) （C）y＝－f(x) （D）y＝－f(－x)
7．函数f (x)＝，若f (x)＝3，则x的值是（D）。
（A）4 （B）1或 （C）1, ±, （D）
8．若g(x)＝1－x2且x≠0, f [g(x)]＝，则f ()等于（B）。
（A） （B）1 （C）3 （D）
9．函数y＝a－ (x≥a)的反函数是（C）。
（A）y＝(x－a)2＋a (x≥a) （B）y＝(x－a)2－a (x≥a)
（C）y＝(x－a)2＋a (x≤a) （D）y＝(x－a)2－a (x≤a)
10．若f (x)＝(x≠－)，且f [f (x)]＝x，则c的值是（A）。
（A）－3 （B）－ （C） （D）3
（二）填空题：
11．已知f (x)＝ax＋b且f {f [f (x)]}＝8x＋7，则a＝ 2 , b＝ 1 。
12．若f (x)＋f ()＝x, 则 f (x)＝ 。
13．已知f (x)＝，则f {f [f (－1)]}＝。
14．函数y＝1－(－5≤x≤0)的反函数为 。
（三）解答题：
15．函数y＝f (x)的图象是过点(4, －1)的一条直线，其反函数的图象经过点(－3, －2)，求f (x)的解析表达式。
解：设y＝ax＋b, 将x＝4, y＝－1代入得4a＋b＝－1; 又反函数的图象经过点(－3, －2)，
∴ 直线y＝ax＋b,过点(－2, －3), 代入得－2a＋b＝－3, 联立解得a＝, b＝－,
∴ f (x)＝x－.
16．已知f (x)＝ax2＋abx＋b,
(1) 当不等式f (x)>0的解集为(1, 2)时，求实数a、b的值。
(2) 当方程f (x)＝0 (a>0)有一根小于1，另一根大于1，且b为常数时，求实数a的取值范围。
解：(1) f (x)>0的解集为(1, 2), ∴ f (x)>0为a(x－1)(x－2)>0, 且a<0
比较系数得－3a＝ab, 2a＝b, ∴b＝－3, a＝－.
(2) 方程f (x)＝0 (a>0)有一根小于1，另一根大于1，∴ f (1)<0 , ∴ a＋ab＋b<0, a>0
a(1＋b)<－b, ① 当b>0时, a<与a>0矛盾; ② 当－1<b<0时, 1＋b>0, 0<a<;
③ 当b<－1时, 1＋b<0, a>∴ a>0; ④ 当b＝－1时, f (1)＝－1<0, ∴a>0.
17．若函数y＝lg x的图象先沿直线x＝9反折，再沿x轴反折，最后再向上平移两个单位，试求出变换后的函数表达式。
解：x1与18－x1关于x＝9对称, ∴函数y＝lg x的图象先沿直线x＝9反折,得y＝lg(18－x), 再沿x轴反折,得y＝－lg(18－x), 最后再向上平移两个单位,得y＝－lg(18－x)＋2.
18．已知函数f (x)＝,将y＝f (x)的图象向左平移一个单位，再向下平移2个单位，所得函数的解析式为g(x);
(1) 求g(x)的解析式；
(2) 求函数g(x)的反函数g(x)；
(3) 将y＝g(x)的图象作怎样的平移变换可得到y＝－的图象？
解：(1) g(x)＝ ＝.
(2) y＝, ∴xy＋3y＝2x＋5, x＝, ∴ g(x)＝＝－3－.
(3) 将y＝ g(x)的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得y＝－的图象。
19．已知函数f (x)＝1－ (－5≤x≤0), 点P(－2, －4)在它的反函数的图象上，
(1) 求函数f (x)的反函数；(2) 证明此反函数是减函数。
解：(1) ∵点P(－2, －4)在它的反函数的图象上，∴ 点(－4, －2)在原函数的图象上，
∴ －2＝1－, a＝－1, y＝1－, y∈[－4, 1]
y＝1－, (y－1)2＝－x2＋25, x2＝25－(y－1)2, ∵(－5≤x≤0), ∴ x＝－,
∴ f －1(x)＝－, x∈[－4, 1],
(2) 用函数增减性的定义证明(略)。

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