高考数学压轴题突破训练——极限、导数(含详解).doc

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高考数学压轴题突破训练——极限、导数(含详解)
1. 对于函数。
（1）若在处取得极值，且的图像上每一点的切线的斜率均不超过试求实数的取值范围；
（2）若为实数集R上的单调函数，设点P的坐标为，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2. 函数（）的图象关于原点对称，、分别为函数的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的解析式；
（Ⅲ）若恒成立，求实数的取值范围.

3. 已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且在和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求c的值；
（2）在函数的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

4. 已知函数
（1）求函数的最大值；
（2）当时，求证；

5. 已知函数的图象过原点，，，函数y=f(x)与y=g(x)的图象交于不同两点A、B。
（1）若y=F(x)在x=-1处取得极大值2，求函数y=F(x)的单调区间；
（2）若使g(x)=0的x值满足，求线段AB在x轴上的射影长的取值范围；

6. 函数和为实常数)是奇函数，设在上的最大值为. ⑴求的表达式; ⑵求的最小值.

7. 已知函数的图象为曲线E.
(Ⅰ) 若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；
(Ⅱ) 说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；
(Ⅲ) 在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.

8. 已知函数（，）．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围．

9. 已知函数.
⑴ 设.试证明在区间 内是增函数；
⑵ 若存在唯一实数使得成立，求正整数的值；
⑶ 若时，恒成立，求正整数的最大值.

10. 已知R,函数(x∈R).
（1）当时，求函数的单调递增区间;
（2）函数是否在R上单调递减，若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由;
（3）若函数在上单调递增，求的取值范围.

11. 已知定义在R上的函数，其中a为常数.
（1）若x=1是函数的一个极值点，求a的值；
（2）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围.

12. 设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，
(1)判断函数在上的单调性；
(2)设，比较与的大小，并证明你的结论；
(3)设，若，比较与的大小，并证明你的结论．

13. 已知，在与x＝1时，都取得极值．
　　（1）求a、b的值；
　　（2）若对，，恒成立，求c的取值范围．

14. 已知函数 的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称.（1）求的解析式；（2）（文）若且在区间（0，上为减函数，求实数的取值范围； （理）若=+，且在区间（0，上为减函数，求实数的取值范围.

15. 已知，研究函数的单调区间。

16. 已知函数，数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列（q≠1，），若，，．
（1）求数列{}和{}的通项公式；

（2）设数列{}的前n项和为，对都有…　　求．

17. 设数列{}的前n项和为，且，．
（1）设，求证：数列{}是等比数列；
（2）设，求证：数列{}是等差数列；
（3）求．

18. 已知是定义在，，上的奇函数，当，时，（a为实数）．
　　（1）当，时，求的解析式；
　　（2）若，试判断在[0，1]上的单调性，并证明你的结论；
　　（3）是否存在a，使得当，时，有最大值．

19. 已知在R上单调递增，记的三内角的对应边分别为，若时，不等式恒成立．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
　　（Ⅱ）求角的取值范围；
（Ⅲ）求实数的取值范围．

20. 已知函数
（I）当时，求函数的极小值
（II）试讨论曲线与轴的公共点的个数。

答案：
1. （1）由，则
因为处取得极值，所以的两个根

因为的图像上每一点的切线的斜率不超过
所以恒成立，
而，其最大值为1．
故

（2）当时，由在R上单调，知
当时，由在R上单调恒成立，或者恒成立．
∵，
可得
从而知满足条件的点在直角坐标平面上形成的轨迹所围成的图形的面积为
2. （Ⅰ） =0
（Ⅱ）
则
|AB|＝2

又
（Ⅲ） 时，求的最小值是-5

3. ⑴ ∵在和上有相反单调性，
∴ x=0是的一个极值点，故，
即有一个解为x=0，∴c=0
⑵ ∵交x轴于点B（2，0）
∴
令，则
∵在和上有相反的单调性
∴， ∴
假设存在点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为3b，则
即
∵ △=
又， ∴△＜0
∴不存在点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为3b．
⑶ 依题意可令

∵，∴当时，；
当时，
故
4. （1）
令得
当时， 当时，又
当且仅当时，取得最大值0
（2）
由（1）知
又

5. 的图象过原点则d=0
。（1）
（I）y=F(x)在x=-1处取得极大值2
（2）
（3）
由（1）（2）（3）得a=3, b=0, c=-3

由得
由得
∴F(x)的单调递减区间为[-1，1]，单调递增区间为
（II）

由得
设A(x1, y1)，B(x2, y2)则
线段AB在x轴上射影长
由g(x)=0得
由

6. (1)由是奇函数知,所以,是偶函数,所以,只要求出的最大值即可. …(2分)
①当时,,在上为增函数,,∴
故.
②当时,, 由得
所以在上为增函数,在上为减函数,
当时,在上为减函数,,∴
故.
当时, 在上为减函数,在上为增函数,
当时,,当时,.
若时,,∴,∴,
若时,∵
∴当时,>0,,当时,.
综上知.
(2)由(1)知,在上为减函数,在上为增函数,
∴.
7. (1) ,设切点为,则曲线在点P的切线的斜率,由题意知有解，
∴即.
(2)若函数可以在和时取得极值，
则有两个解和，且满足.
易得.
(3)由(2)，得.
根据题意，()恒成立.
∵函数（）在时有极大值（用求导的方法），
且在端点处的值为.
∴函数（）的最大值为.
所以.
8. 当．
令，得，或．且， ．
（Ⅰ）当时，．
当变化时，、的变化情况如下表：

0

＋
0
－
0
＋

∴ 当时，在处，函数有极大值；在处，函数　有极小值．
（Ⅱ）要使函数有三个不同的零点，
必须．
解得．∴当时，函数有三个不同的零点．
9. （1）因为所以.
∴ , 则， ∴ 在内单调递增 .
解：（2） ∵，,∴由（1）可得在内单调递增，
即存在唯一根， ∴ .
(3) 由得且恒成立,由（2）知存在唯一实数,
使且当时， ，∴ ，当时，,∴ .
∴ 当时,取得最小值 .
∵ , ∴ . 于是， ∵ ,
∴ ∴ ,故正整数的最大值为3.
10. (1) 当时,, .
令,即,即，解得.
函数的单调递增区间是.
(2) 若函数在R上单调递减,则对R都成立, 即对R都成立, 即对R都成立.
, 解得. 当时, 函数在R上单调递减.
(3) 函数在上单调递增, 对都成立,
对都成立.即对都成立.
令，则 解得 .
11. （I）
的一个极值点，；
（II）①当a=0时，在区间（－1，0）上是增函数，符合题意；
②当；
当a>0时，对任意符合题意；
当a<0时，当符合题意；
综上所述，
（III）

令
设方程（*）的两个根为式得，不妨设.
当时，为极小值，所以在[0，2]上的最大值只能为或；
当时，由于在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为，所以在[0，2]上的最大值只能为或，
又已知在x=0处取得最大值，所以
即
12. (Ⅰ)由于得，，而，则，
则，因此在上是增函数.
(Ⅱ)由于，，则，而在上是增函数，
则，即，∴（1），
同理 （2）
（1）+（2）得：，而，
因此 .
（Ⅲ）证法1: 由于，，则，而在上是增函数，则，即，
∴
同理

以上个不等式相加得：

而

证法2：数学归纳法
（1）当时，由（Ⅱ）知，不等式成立；
（2）当时，不等式成立，
即成立，
则当时， +
再由(Ⅱ)的结论, +
+
因此不等式对任意的自然数均成立.
13. （1）由题设的两根为和1，由韦达定理，得 即，．　（2）由（1）知，且当，时，，，时，，时，，所以当时，有极大值．又，即当，时，的最大值为．因为对，，恒成立，所以，解得或．故c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，＋∞）
14. （1）设图象上任一点坐标为，点关于点A（0，1）的对称点在的图象上

即=…6′
（2）文：即
在（0，2上递减
理：…………10′
在（0，2上递减，
15.
3分
记∴只需讨论g(x)的正负即可。
（1）当m＝0时，
当时，；当时，
∴当m＝0时，f(x)的增区间为 5分
（2）当m≠0时，有两个根：
①当
在区间
∴f(x)在此区间上是增函数；
在区间
∴f(x)在此区间上是减函数； 7分
②
在区间
∴f(x)在此区间上是减函数；
在区间
∴f(x)在此区间上是增函数； 9分
③当m＝3时，
在区间
∵f(x)在x＝－1处连续，
∴f(x)在（－，＋）上是减函数； 11分
④当m＞3时，
在区间
∴f(x)在此区间上是减函数
在区间
∴f(x)在此区间上是增函数。
16. （1）数列{}为等比数列，　∴　．为等比数列，
　　又∵　，
　　∴　，解得d＝2，．
　　∴　．又∵　为等比数列，∴　．
　　而　，∴　
　　∵　，，∴　，．∴　．
　　（2）由…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　　 …　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
　　①-②得．∴　．
　　对于，，，知其为等比数列．
　　∴　，，．
　　∴　．
17.（1）∵　，
　　∴　，∴　．
　　且．　∴　是首项为3，公比为2的等比数列．
　　（2）∵　，∴　，
　　∴　，
　　且　．
　　∴　{}是以为首项，公差为的等差数列．
　　（3）∵　，∴　．
　　∴　时，，
且n＝1时，＝1，∴　．　　
故．
18. （1）设，，则，，，是奇函数，则，，；
　　（2），因为，，，，，即，所以在，上是单调递增的．
　　（3）当时，在，上单调递增，（不含题意，舍去），当，则，，如下表
，
x

，

＋
0
-

最大值

所以存在使在，上有最大值．

19. (1)由知，在R上单调递增，恒成立，且，即且，，
当，即时，，
时，时，，即当时，能使在R上单调递增，．
　　(2)，由余弦定理：，，----5分
(3) 在R上单调递增，且，所以
，---10分
故，即，，即，即．
20. （I）
当或时，；当时，
在，（1，内单调递增，在内单调递减
故的极小值为
（II）①若则 的图象与轴只有一个交点。……6分
②若则，当时，，当时，
的极大值为
的极小值为 的图象与轴有三个公共点。
③若，则。
当时，，当时，
的图象与轴只有一个交点
④若，则 的图象与轴只有一个交点
⑤当，由（I）知的极大值为
综上所述，若的图象与轴只有一个公共点；
若，的图象与轴有三个公共点。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

20
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