江西省南昌一中、南昌十中2013届高三第四次联考数学（文）试题.doc

2012年南昌一中、南昌十中第四次联考
数学试卷（文）
命题人：吴建民 审题人: 梁伟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上
1．设集合( )
A． B． C. D．
2．已知命题“”，命题 “”，若命题均是真命题，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
4. 设数列是等差数列，且，则这个数列的前5项和=（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印 的点落在坐标轴上的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
7．与向量=（，1），=（1，）的夹角相等且模为的向量为 （ ）
A． B。
C． D。
8．函数的定义域为R，且定义如下：（其中M是实数集R的非空真子集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足，则函数的值域为 （ ） A． B． C． D．
9．函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为 （ ）

10．定义在（—，0）（0，+）上的函数，如果对于任意给定的等比数列{}，{）仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在（—，0）（0，+）上的如下函数：①=：②；③；④．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.

12. 已知则的值为 .
13.在△中，已知,,则△的面积为 。
14. 已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是 .
15．已知函数，其导函数记为，则
.

三、解答题：共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分12分） 已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

17. （本小题满分12分） 已知的角A、B、C所对的边分别是，
设向量, ,
（Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形；
（Ⅱ）若⊥，边长，，求的面积.

18. （本小题满分12分）
已知 且；
：集合，且．
若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.

19. （本小题满分12分）
如图：在三棱锥D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且
（1）求三棱锥D－ABC的表面积；
（2）求证AC⊥平面DEF；
E
C
B
D
A
F
N
M
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

20. （本小题满分13分）
在数列中，已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列；
（Ⅲ)设数列满足，求的前n项和.

21. （本小题满分14分）
已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，求正整数ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；
（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．

2012年南昌一中、南昌十中第四次联考数学试卷（文）
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

B

C

A

D

B

B

C

B

C

C
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.----------------40/3---------------------- ; 12.---------------------3-------------------------;

13.---------------- ---------------------; 14.----------------- --23/2------------------------;

15.--------2-- -------------------。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）
16. （本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）

∴函数的最小正周期． …………………6分
（Ⅱ）∵，，
∴ …………………9分
∴
∴ 在区间上的最大值为，最小值为0． ……………12分
17. （本小题满分12分）
已知的角A、B、C所对的边分别是，设向量, ,
（Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形；
（Ⅱ）若⊥，边长，，求的面积.
证明：(Ⅰ) ∵∥， ∴，由正弦定理可知，
，其中R是外接圆的半径，
∴.
因此，为等腰三角形. …………………6分

（Ⅱ）由题意可知，，即
由余弦定理可知，即
，(舍去)
∴. …………………12分
18．（本小题满分12分）已知 且；
：集合，且．
若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.
解答：若成立，则，
即当时是真命题； ……………………4分
若，则方程有实数根，
由，解得，或，
即当，或时是真命题； ……………………8分
由于∨为真命题，∧为假命题，∴与一真一假，
故知所求的取值范围是． ……………………12分
E
C
B
D
A
F
N
M
19. （本小题满分12分）
如图：在三棱锥D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且
（1）求三棱锥D－ABC的表面积；
（2）求证AC⊥平面DEF；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．
解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．
设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．
∴，，．
三棱锥D－ABC的表面积为．……………..4分
E
C
B
D
A
F
N
M
G
H
O
（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．
∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF． …..8分
（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．
∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝……….12分
20. （本小题满分13分）在数列中，已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列；
（Ⅲ)设数列满足，求的前n项和.
解：（Ⅰ）∵
∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，
∴.…………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）∵…………………………………………………………………… 4分
∴.…………………………………………………………… 5分
∴，公差d=3
∴数列是首项，公差的等差数列.…………………………………………7分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，（n）
∴.………………………………………………………………8分
∴， ①
于是 ②
…………………………………………………………………………………………… 9分
两式①-②相减得
=.………………………………………………………………………11分
∴ .………………………………………………………13分.
21. （本小题满分14分）已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，求正整数ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；
（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．
解 ⑴因为，所以不等式即为，
又因为，所以不等式可化为，
所以不等式的解集为．…………………………4分
⑵当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，
因为对于恒成立，
所以在内是单调增函数，……………………………6分又，， ，
所以方程有且只有1个实数根， 在区间 ，
所以整数的值为 1．……………………………………………9分
⑶，
① 当时，，在上恒成立，当且仅当时
取等号，故符合要求；………………………………………………………11分
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，
因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调．………………………………………………………12分
若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，
必须满足即所以.--------------------------13分
综上可知，的取值范围是．………………………………………14分