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第二章 回归模型思考与练习参考答案
2.1参考答案
⑴答：解释变量为确定型变量、互不相关（无多重共线性）；随机误差项零的值、同方差、非自相关；解释变量与随机误差项不相关。
现实经济中，这些假定难以成立。要解决这些问题就得对古典回归理论做进一步发展，这就产生了现代回归理论。
⑵答：总体方差是总体回归模型中随机误差项的方差；参数估计误差则属于样本回归模型中的概念，通常是指参数估计的均方误。参数估计的均方误为
MSE=E=D=
即根据参数估计的无偏线，参数估计的均方误与其方差相等。而参数估计的方差又源于总体方差。因此，参数估计误差是总体方差的表现，总体方差是参数估计误差的根源。
⑶答：总体回归模型
样本回归模型
是因变量y的个别值与因变量y对的总体回归函数值的偏差；为因变量y的观测值与因变量y的样本回归函数值的偏差。
在概念上类似于，是对的估计。
对于既定理论模型，OLS法能使模型估计的拟和误差达最小。但或许我们可选择更理想的理论模型，从而进一步提高模型对数据的拟和程度。
⑷答：检验说明模型对样本数据的拟和程度；F检验说明模型对总体经济关系的近似程度。
由可知，F是的单调增函数。对每一个临界值，都可以找到一个与之对应，当时便有。
⑸答：在古典回归模型假定成立的条件下，OLS估计是所有的线形无偏估计量中的有效估计量。
⑹答：如果模型通过了F检验，则表明模型中所有解释变量对被解释变量的影响显著。但这并不说明多个解释变量的影响都是显著的。建模开始时，常根据先验知识尽可能找出影响被解释变量的所有因素，这样就可能会选择不重要的因素作为解释变量。对单个解释变量的显著性检验可以剔除这些不重要的影响因素。
⑺答：考虑两个经济变量y与x，及一组观测值。
若假定这两个变量都是随机的，要确定相关关系的存在性及相关程度，则相应的统计分析就是相关分析。
若假定两变量一为随机变量一为确定变量，则相应的统计分析就是回归分析。回归分析以随机变量为因变量而确定型变量为自变量，研究自变量对因变量的影响，对因变量值进行预测。
相关分析是回归分析的基础，进行回归分析之前，通常要检验自变量与因变量间、自变量与自变量间是否存在相关关系。
2.2参考答案
答：考虑一元线形回归模型
I=1,2,……,n
根据古典回归模型的假定，我们有：；
， ； 。 从而
①
②
③
2.3参考答案
答：对于样本回归模型，使用OLS法求解的微分极值条件为。展开X矩阵，有
…
①
②
2.4 参考答案
答：注意区分模型与函数、总体与样本。
模型是满足某些假设条件的方程；样本是来自总体的随机抽样。
总体回归模型：
总体回归函数：
样本回归模型：
样本回归函数：
因此，⑵⑷⑺正确。
2.5 参考答案
证：设有一元样本回归模型形式如下：
令，则为离差幂等阵，并且有和。
由，从而
回归模型的判定系数为
y与x的相关系数为
进而
因此 证毕。
注意：证明过程中隐含了OLS法求解的微分极值条件
。 于是，有
2.6 参考答案
解：
，置信度。
2.7参考答案
证：显著性水平为时， 。此处隐含了一个零假设。从而
即
于是，置信度为的置信区间必不包含0。
2.8参考答案
解：的95%置信域为。
当所取样本容量时，。此时，的95%置信域为[。
对于例4，的置信域近似地为
的置信域（95%）近似地为
① 边际产出和的95%置信域
② 和,均大于
这表明和的95%置信域均不包含零。
换句话说，显著性水平为0.05时，和均显著非零。
2.9参考答案
答：判定系数是解释变量个数K的单调增函数，即。为克服这种缺陷，可采用调整后的判定系数。可以消除K的影响，即。由。可知样本容量n充分大时，。
2.10参考答案
解：①为收入需求弹性；
为价格需求弹性。
②，则
③ 价格上涨10%，即；
需求水平保持不变，即。
由，
得
2.11参考答案
解：回归方程下，第一行圆括号内的数值为，第二行为。
在零假设：的条件下，。
由及，可以判定各统计量的属性。
2.12参考答案
解：选择模型的步骤及准则：
① 先验检验：不合经济原理的模型要排除；
② 检验；
③ 检验：的参数被认为不显著。
2.13参考答案
解：①
63.58 0.002
13.57 48.54
0.000 0.000
Adjusted R-squared 0.992
S.E. of regression 197.89
0.0000
表明GNP每增一亿，则财政收入增加0.1亿。
②点预测值。
n=20,k=1 S=197.89
因此，1998年财政收入的95%置信域为[8205.17，9056.83]，这也就是显著性水平为0.05的预测区间。
2.14 参考答案
解：①②
121.81 0.005 0.99
1.30 10.55 –0.92
0.23 0.000 0.38
Adjusted R-squared 0.93
S.E. of regression 20.22
0.00
拟合优度高，F检验显著，但检验表明常数虚拟变量和变量均不显著。
③
0.9970 3.83E-05 0.0081
2.69 9.99 -2.27
0.027 0.00 0.052
Adjusted R-squared 0.92
S.E. of regression 0.16
F-statistic 57.40
0.00
被解释变量经修改后消除了价格因素的影响，从而反映了“实际”的消费支出。这种改变在回归模型上的最直接影响是回归标准差大大降低，从而参数估计标准差也随之降低，统计量变大。
修改后的模型拟合优度仍旧高，F检验亦显著。在0.05的显著性水平下，常数虚变量和变量均显著；若把显著性水平放宽至0.06，则全部解释变量均显著。
修改后的模型的回归标准差=0.16，相对于修改前大大降低。这表明模型预测值大大提高。
对城镇居民消费品需求函数模型的调整还可以考虑吸收利率、储蓄、职业、种族、受教育程度等因素作为解释变量。此外。还可以考虑是否可以采用非线形模型的形式等。
2.15 参考答案
解：⑴、⑵：
Yhat = 87.740 - 0.730 X1 + 8.045 X2
Std. Error 17.920 0.099 3.508
t- Statistic 4.895 -7.376 2.293
R-squared = 0.890 F-statistic = 36.45584
⑶略。
2.16 参考答案
答：（1）
2.462 0.011 0.056 0.385
-3.141 1.342 17.090 2.808
Prob>|t| 0.008 0.202 0.000 0.015
Adusted R-squared 0.998
S.E.of regression 0.029
F-statistic 3528578
Prob>F 0.00
(2)所谓线性化后的CES生产函数实际为CES生产函数对数化后的泰勒级数近似。理论上CES生产函数的参数与对数化CES生产函数的参数存在一一对应的，因此CES生产函数模型参数可恰好识别。求解过程略。
CES生产函数模型的基本形式为：
Y=A（
其中，待估参数A为效率参数，是广义技术进步水平的反映，显然A〉0；和为分配系数，均为正数并满足+=1；为替代参数；m则为规模报酬参数。
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