北师大版初中数学九下知识点汇总——分章节整理.doc

北师大版初中数学九下知识点汇总
第一章 直角三角形边的关系
※一、正切：
在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
※二、正弦：
在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA，即;
※三、余弦：
在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;
tanA和sinA随着∠A的增大而增大；cosA随着∠A的增大而减小。
即：tanA、sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡； ∠A越大，tanA和sinA的值越大，梯子越陡；
cosA的值越小，∠A越大，梯子越陡； ∠A越大，梯子越陡，cosA的值越小。
※四、特殊角的三角函数

※五、几点注意：
1、一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。
即：，
2、
3、 ①当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角
②当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角
③坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比).用字母i表示,
※六、重要模型：

※七、直角三角形：
1、三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)
2、两锐角的关系：∠A＋∠B=90°(互余)
3、边与角之间的关系：
（如图1）
4、面积公式:(hc为斜边c上的高)（如图2）
5、直角三角形的外接圆半径（如图3）
6、直角三角形的内切圆半径（如图4）

第二章 二次函数
※二次函数的概念：形如的函数，叫做x的二次函数。
①是二次函数的特例，此时常数b=c=0.
②叫做二次函数的一般式；
③叫做二次函数的顶点式；
④叫做二次函数的交点式。其中点(x1,0)和点(x2,0)为抛物线与x轴的交点。
※二次函数的性质：
1、二次函数的图象是以为对称轴，顶点在（，）的抛物线
①开口方向和大小由a来决定，当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。
②抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)，即c确定抛物线与y轴的交点。
2、将配方成的形式；（其中，）
3、把抛物线向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；②再把抛物线向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到的图象。
平移口诀：上加下减，左加右减。(顶点式)
例如：先由函数y=3x2向右平移1个单位，得到函数y=3(x-1)2, 再由函数y=3(x-1)2向上平移2个单位得到函数y=3(x-1)2+2

4、二次函数的性质：
①对称轴：直线x= ②顶点坐标：（，）
③增减性：若a>0，则当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大。
若a<0，则当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小。
④最值：若a>0，则当x=时，；若a<0，则当x=时，
5、对称轴：直线其中x1, x2为抛物线上任意两个对称点的横坐标。
※二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程的两个实数根
※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
>0 <===> 抛物线与x轴有2个交点；
=0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；
<0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；

第三章 圆
※圆的定义：
定义一：平面内到定点距离等于定长的点组成的图形叫做圆。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
定义二：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”
※点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d<r; ③点在圆外 <===> d>r.
※圆的对称性:
1、相关概念：
①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
②圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
③弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
2、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆具有旋转不变性。
3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
几何语言：∵CD是直径，AM=BM
∴CD⊥AB，=,=
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
4、圆周角定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
5、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
※确定圆的条件:
1、定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
2、三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.
3、三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
(1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆, 这个三角形叫做圆的外切三角形.
(2)三角形的内心: 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
(3) 三角形的内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等.
※直线与圆的位置关系
1、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d

2、切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
几何语言：∵CD是⊙O的切线,A是切点, OA是⊙O的半径,
∴CD⊥OA.
3、切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言：∵CD是⊙O的切线,A是切点, OA是⊙O的半径,
∴CD⊥OA.
4、如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
※圆和圆的位置关系
1、两圆位置关系的性质与判定:

(1)两圆外离 <===> d>R+r
(2)两圆外切 <===> d=R+r
(3)两圆相交 <===> R-r<d<R+r (R≥r)
(4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r)
(5)两圆内含 <===> d<R-r (R>r)

2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.
3、相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
几何语言：∵⊙O1和⊙O2相交于A、B
∴O1O2是AB的垂直平分线
※扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
其中为圆心角，为扇形多对应的圆的半径，为扇形弧长，为扇形面积.
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图：长方形
=
（2）圆柱的体积：
3、圆锥：
（1）圆锥侧面展开图：扇形
（2）
=
（3）圆锥的体积：
第四章 统计与概率
1、平均数：①算术平均数 ②加权平均数
2、中位数：n 个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
3、众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据。
4、方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数

6、书写格式：从树状图(或表格)中知，总共有m种结果,每种结果出现的可能性相同,事件A出现了n次，则.
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