初中数学竞赛讲座(第6讲)一次不等式(不等式组)的解法.doc

第六讲 一次不等式(不等式组)的解法
不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．
　　下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．
　　1．不等式的基本性质

　　这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．
　　2．区间概念
　　在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么
　　(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．
　　(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．
　　(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．

　　3．一次不等式的一般解法
　　一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．
　　 一元一次不等式ax＞b．

　　 (3)当a=0时，

用区间表示为(-∞，+∞)．
　　例1 解不等式

　　解 两边同时乘以6得
12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，
化简得

-7x≥-14，
　　两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．
　　例2 求不等式

　　的正整数解．

正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．
　　例3 解不等式

　　分析与解 因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有

　　例4 解不等式

　　为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．
　　解 将原不等式变形为

　　解之得

　　所以原不等式的解为x＞5且x≠6．
　　例5 已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较
　　解 首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得
y＜-10+9，即y＜-1．

　　例6 解关于x的不等式：

　　解 显然a≠0，将原不等式变形为
3x+3-2a2＞a-2ax，
　　即
(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．

　　说明 对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．
　　例7 已知a，b为实数，若不等式
(2a-b)x+3a-4b＜0

　　解 由(2a-b)x+3a-4b＜0得
(2a-b)x＜4b-3a．

　　由②可求得

　　将③代入①得

　　所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可变形为

　　因为b＜0，所以

　　下面举例说明不等式组的解法．
　　不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分．
　　若不等式组由两个不等式组成，分别解出每一个不等式，其解总可以归纳成以下四种情况之一(不妨设α＜β)：

　　解分别为：x＞β；x＜α；α＜x＜β；无解．如图1－5(a)，(b)，(c)，(d)所示．

　　若不等式组由两个以上不等式组成，其解可由下面两种方法求得：
　　(1)转化为求两两不等式解的公共部分．如求解

　　(2)不等式组的解一般是个区间，求解的关键是确定区间的上界与下界，如求解

　　确定上界：由x＜4，x＜8，x＜5，x＜2，从4，8，5，2这四个数中选最小的数作为上界，即x＜2．
　　确定下界：由x＞-4，x＞-6，x＞0，x＞-3．从-4，-6，0，-3中选最大的数作为下界，即x＞0．
　　确定好上、下界后，则原不等式组的解为：0＜x＜2．不等式组中不等式的个数越多，(2)越有优越性．
　　例8 解不等式组

　　解 原不等式组可化为

　　解之得

　　例9 解关于x的不等式组

　　解 解①得
4mx＜11，③
　　　 解②得 　　　　　　　　　　　　　3mx＞8． ④
　　(1)当m=0时，③，④变为

原不等式组无解．
　　(2)当m＞0时，③，④变形为

　　(3)当m＜0时，由③，④得

练习六

　　1．解下列不等式或不等式组：

　 2．解下列关于x的不等式或不等式组：

　　3．求同时满足不等式的整数解．

关于x的不等式ax＞b的解是什么？