山西省朔州市应城一中2016-2017学年高一（上）期中数学试卷（解析版）.doc

2016-2017学年山西省朔州市应城一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）.
1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（　　）
A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}
2．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（　　）
A．f（x）=x3 B．f（x）= C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣lg|x|
3．已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（　　）
A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±3
4．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（　　）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
6．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（　　）
A．0.76＜log0.76＜60.7 B．0.76＜60.7＜log0.76
C．log0.76＜60.7＜0.76 D．log0.76＜0.76＜60.7
7．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（　　）
A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]
8．已知函数f（x）=﹣x+log2+1，则f（）+f（﹣）的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2log2
9．设奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（　　）
A．{x|﹣1＜x＜0，或＞1} B．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0，或0＜x＜1}
10．已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a），对于任意x≥2，当△x＞0时，恒有f（x+△x）＞f（x），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣4，4] C．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞） D．[﹣4，2）
11．已知函数的图象与直线y=x+b没有交点，则b的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（0，1） D．（1，+∞）
12．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（　　）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合A={x|x≥4}，函数g（x）=的定义域为B，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是　　．
14．函数y=2x﹣2+7的图象恒过定点A，且点A在幂函数f（x）的图象上，则f（3）=　　．
15．已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的范围是　　．
16．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是　　．

三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程．）
17．已知集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|3x﹣7≥8﹣2x}．
（1）求∁R（A∩B）；
（2）若C={x|x≤a}，且A∪C=C，求实数a的取值范围．
18．（1）计算：；
（2）已知a=lg2，10b=3，用a，b表示．
19．已知函数f（x）=xm﹣且f（4）=，
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．
（3）求f（x）在[2，5]上的值域．
20．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f（x）=1+2x
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）单调区间及值域．
21．函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）=4x﹣2x+1（x∈M）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）当x∈M时，关于x方程4x﹣2x+1=b（b∈R）有两不等实数根，求b的取值范围．
22．设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

2016-2017学年山西省朔州市应城一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）.
1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（　　）
A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集和并集的定义，写出（∁UA）∪B即可．
【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，
集合A={1，2，3}，B={2，4}，
则∁UA={0，4}，
所以（∁UA）∪B={0，2，4}．
故选：C．

2．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（　　）
A．f（x）=x3 B．f（x）= C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣lg|x|
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】根据题意，对选项中的函数的奇偶性与单调性进行判断分析即可．
【解答】解：对于A，f（x）=x3，在定义域R内，是奇函数，也是增函数，不满足题意；
对于B，f（x）=，定义域是（﹣∞，0]，非奇非偶的函数，不满足题意；
对于C，f（x）=2﹣x﹣2x，定义域是R，且f（﹣x）=2x﹣2﹣x=﹣（2﹣x﹣2x）=﹣f（x），是奇函数；
也是定义域上的减函数，满足题意；
对于D，f（x）=﹣lg|x|，是定义域上的偶函数，不满足题意．
故选：C．

3．已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（　　）
A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±3
【考点】交集及其运算．
【分析】由已知得到2a﹣1=9或a2=9，求出a后分别验证得答案．
【解答】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，
∴2a﹣1=9或a2=9，
当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；
当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；
∴a=﹣3．
故选：B．

4．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（　　）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．
∴则函数f（2x+1）的定义域为．
故选B．

5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．
【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．
【解答】解：∵lga+lgb=0
∴ab=1则b=
从而g（x）=﹣logbx=logax，f（x）=ax与
∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减
结合选项可知选B，
故答案为B

6．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（　　）
A．0.76＜log0.76＜60.7 B．0.76＜60.7＜log0.76
C．log0.76＜60.7＜0.76 D．log0.76＜0.76＜60.7
【考点】指数函数单调性的应用．
【分析】由对数函数的图象和性质，可得到log0.76＜0，再指数函数的图象和性质，可得0.76＜1，60.7＞1从而得到结论．
【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质
可知：log0.76＜0
由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质
可知0.76＜1，60.7＞1
∴log0.76＜0.76＜60.7
故选D

7．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（　　）
A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．
【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，
∴只有f（）•f（）＜0，
∴函数的零点在区间[，]上．
故选C．

8．已知函数f（x）=﹣x+log2+1，则f（）+f（﹣）的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2log2
【考点】对数的运算性质；函数的值．
【分析】由已知得f（）+f（﹣）=（﹣++1）+（++1），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=﹣x+log2+1，
∴f（）+f（﹣）
=（﹣++1）+（++1）
=2．
故选：A．

9．设奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（　　）
A．{x|﹣1＜x＜0，或＞1} B．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0，或0＜x＜1}
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】本题考查的是函数的奇偶性和单调性以及解不等式的综合类问题．在解答时，首先要结合奇偶性和单调性对不等式进行转化变形，将问题转化为解不等式：2xf（x）＜0，
然后再分类讨论即可获得问题的解答．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴它在（﹣∞，0）上也是增函数．∵f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（﹣1）=f（1）=0．
不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0可化为2xf（x）＜0，
即xf（x）＜0，
∴当x＜0时，
可得f（x）＞0=f（﹣1），∴x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜0；
当x＞0时，可得f（x）＜0=f（1），
∴x＜1，∴0＜x＜1．
综上，不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为{x|﹣1＜x＜0，或0＜x＜1}．
故选D．

10．已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a），对于任意x≥2，当△x＞0时，恒有f（x+△x）＞f（x），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣4，4] C．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞） D．[﹣4，2）
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】依题意，对于任意x≥2，当△x＞0时，恒有f（x+△x）＞f（x），说明函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，建立不等式关系可得答案．
【解答】解：由题意，对于任意x≥2，当△x＞0时，恒有f（x+△x）＞f（x），
∴函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，
所以应有，
解得﹣4＜a≤4，即实数a的取值范围是（﹣4，4]．
故选B．

11．已知函数的图象与直线y=x+b没有交点，则b的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（0，1） D．（1，+∞）
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】函数y=f（x）的图象与y=x+b直没有交点，方程=x+b无解，从而方程log9（9x+1）﹣x=b无解．令g（x）=log9（9x+1）﹣x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．可以验证g（x）为减函数，从而得到g（x）＞0，进而可求实数b的取值范围．
【解答】解：由题意知方程=x+b没有解，即方程log9（9x+1）﹣x=b无解．
令g（x）=log9（9x+1）﹣x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
∵
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则0＜＜，从而，
可知g（x1）＞g（x2）
∴g（x）在（﹣∞，+∞）是单调减函数．
∵，
∴＞0，
函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点，只需b≤0即可．
∴b的取值范围是（﹣∞，0]．
故选：A

12．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（　　）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图象与性质．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选C．

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合A={x|x≥4}，函数g（x）=的定义域为B，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是　（﹣∞，3）　．
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合B，利用A∩B=∅，即可得到结论．
【解答】解：要使函数g（x）有意义，则1﹣x+a≥0，
即x≤1+a，即B={x|x≤1+a}，
∵A∩B=∅，
∴1+a＜4，
即a＜3，
故答案为：（﹣∞，3）

14．函数y=2x﹣2+7的图象恒过定点A，且点A在幂函数f（x）的图象上，则f（3）=　27　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数的图象．
【分析】根据指数函数的图象恒过定点A（0，1）求出点A的坐标，
再代入幂函数解析式求出f（x）的解析式，计算f（3）的值．
【解答】解：当x﹣2=0时，x=2，y=2°+7=8；
∴函数y=2x﹣2+7的图象恒过定点A（2，8）；
又点A在幂函数f（x）=xα的图象上，
∴2α=8，解得α=3；
∴f（x）=x3，
∴f（3）=33=27．
故答案为：27．

15．已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的范围是　[，6）　．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据分段函数单调性的性质，确定a满足的条件即可求得a的取值范围．
【解答】解：要使函数f（x）是增函数，
则满足，即≤a＜6，
故答案为：[，6）．

16．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是　（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，转化为t2+at+b=0必有两个根t1、t2，分类讨论求解．
【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数，
当x≥0时，，
作出函数f（x）的图象，如图所示：
若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0有且仅有
6个不同的实数根，
依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，
在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，
当x=±2时，函数取得极大值；
当x=0时，取得极小值0．
要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），
则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况符合题意：
（1）t1=，且t2∈（1，），此时﹣a=t1+t2，则a∈（﹣，﹣）；
（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），
此时同理可得a∈（﹣，﹣1），
综上可得a的范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1），
故答案为：（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．

三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程．）
17．已知集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|3x﹣7≥8﹣2x}．
（1）求∁R（A∩B）；
（2）若C={x|x≤a}，且A∪C=C，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）化简集合B，求出A∩B，即可求∁R（A∩B）；
（2）若C={x|x≤a}，且A∪C=C，利用A⊆C，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）B={x|3x﹣7≥8﹣2x}={x|x≥3}．A∩B={x|3≤x≤6}，
∴∁R（A∩B）={x|x＜3或x＞6}；
（2）∵A∪C=C，∴A⊆C，
∵A={x|2≤x≤6}，C={x|x≤a}，
∴a≥6．

18．（1）计算：；
（2）已知a=lg2，10b=3，用a，b表示．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，和对数运算法则分别化简即可
（2）先表示出b，再根据对数运算法则化简，用a、b表示即可
【解答】解：（1）原式===
（2）∵10b=3
∴b=lg3
又∵a=lg2
∴==

19．已知函数f（x）=xm﹣且f（4）=，
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．
（3）求f（x）在[2，5]上的值域．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）根据，带入计算可得m的值．
（2）求解f（x）的解析式，利用定义域证明即可．
（3）利用单调性求解f（x）在[2，5]上的值域即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=xm﹣，
由f（4）=，
可得：，
解得：m=1．
∴m的值为1．
（2）由（1）可得f（x）=x﹣，
设0＜x1＜x2，则=＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）由2可知f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，即在[2，5]上的也是增函数．
当x=2时，f（x）取得最小值为1，
当x=5时，f（x）取得最大值为，
故得f（x）在[2，5]上的值域为[1，]．

20．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f（x）=1+2x
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）单调区间及值域．
【考点】函数图象的作法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）由y=f（x）是定义在R上的奇函数知f（0）=0，从而求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，注意空心点及原点；
（3）由图象写出函数f（x）单调区间及值域．
【解答】解：（1）由题意，f（0）=0，
当x＞0时，﹣x＜0，
f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（1+2﹣x）
故f（x）=；
（2）作函数f（x）的图象如下，
；
（3）函数f（x）单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
其值域为（﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2）．

21．函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）=4x﹣2x+1（x∈M）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）当x∈M时，关于x方程4x﹣2x+1=b（b∈R）有两不等实数根，求b的取值范围．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】（1）由.3﹣4x+x2＞0，求得x的范围可得 M={x＞3或x＜1}；令2x=t，则t＞8 或0＜t＜2，故f（x）=g（t）=（t﹣1）2﹣1≥﹣1，可得函数f（x）的值域．
（2）由题意可得函数y=t2﹣2t 的图象和直线y=b有2个交点，数形结合可得b的范围．
【解答】解：（1）∵由.3﹣4x+x2＞0，解得x＞3，或x＜1，
∴M={x＞3或x＜1}．
∵f（x）=4x﹣2x+1，
令2x=t，则t＞8 或0＜t＜2．
则f（x）=g（t）=t2﹣2t=（t﹣1）2﹣1，
当t＞8时，g（t）=（t﹣1）2﹣1＞48；
当0＜t＜2时，g（t）=（t﹣1）2﹣1∈[﹣1，0）．
所以值域为[﹣1，0）∪（48，+∞）．
（2）．∵4x﹣2x+1=b（b∈R）有两不等实数根，
∴函数y=t2﹣2t 的图象和直线y=b有2个交点，
数形结合可得，﹣1＜b＜0，即b的范围（﹣1，0）．

22．设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断．
【分析】（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即 x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．
（3）f（1）=，可得a=2，求出g（x）的解析式，令t=2x﹣2﹣x，由x≥1可得t≥，可得函数y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，运用二次函数的单调性，可得所求最小值．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．
（2）∵函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又 a＞0，
∴1＞a＞0．
由于y=ax单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．
∴x2+tx＞x﹣4，即 x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，
∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．
（3）由f（1）=得a=2，
则g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），
令t=2x﹣2﹣x，由x≥1可得t≥，
则函数y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，
且在[，+∞）递增，
可得g（x）在[1，+∞）上的最小值为（﹣1）2+1=．

2017年3月22日