江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--数学归纳法与二项式定理.doc

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
数学归纳法与二项式定理
1、（常州市2013届高三期末）空间内有个平面，设这个平面最多将空间分成个部分.
（1）求 ；
（2）写出关于的表达式并用数学归纳法证明.
解：（1）；
（2）.证明如下：
当时显然成立，
设时结论成立，即，
则当时，再添上第个平面，因为它和前个平面都相交，所以可得 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了个， ，
即当时，结论也成立.
综上，对，.
2、（南京市、盐城市2013届高三期末）
已知, 其中．
(1)若展开式中含项的系数为14, 求的值；
(2)当时, 求证：必可表示成的形式.

解: (1)因为,所以，故项的系数为，解得………5分
(2)由二项式定理可知,,
设，而若有，，
则,…………………………………………………………7分
∵，
∴令，则必有……………………………………………………9分
∴必可表示成的形式，其中 ……………………………10分
注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数．
3、（南通市2013届高三期末）
已知数列{an}满足：．
（1）若，求数列{an}的通项公式；
（2）若，试证明：对，an是4的倍数．
解：(1)当时，．
令，则．
因为奇数，也是奇数且只能为，
所以，即 …………………………………3分
(2)当时，． ……………………………………………4分
下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数．
当时，，命题成立；
设当时，命题成立，则存在N*，使得，
，
其中，，
，当时，命题成立．
由数学归纳法原理知命题对成立． ………………………………10分
4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）
已知数列满足且
（1） 计算的值，由此猜想数列的通项公式，并给出证明；
（2） 求证：当时，
证明：⑴，，，猜想：．……………………2分
①当时，，结论成立；
②假设当时，结论成立，即，
则当时，，
即当时，结论也成立，由①②得，数列的通项公式为．5分
⑵原不等式等价于．
证明：显然，当时，等号成立；
当时，
，
综上所述，当时，．…………………………………………………10分
5、（无锡市2013届高三期末） 已知函数f（x）= x2+1nx．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：．

6、（扬州市2013届高三期末）已知数列是等差数列，且是展开式的前三项的系数.
（Ⅰ）求展开式的中间项；
（Ⅱ）当时，试比较与的大小.
解：（Ⅰ）依题意，，，由可得（舍去），或 …………………2分
所以展开式的中间项是第五项为：；…………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,
当时，
当时，

猜测：当时， …………………6分
以下用数学归纳法加以证明：
①时，结论成立，
②设当时，，
则时，

由可知，
即
综合①②可得，当时， …………………10分

7、（镇江市2013届高三期末）已知函数在区间上是增函数.
（1）求实数的取值范围；
（2）若数列满足，，Ｎ* ，证明．

解：（1）函数在区间上是增函数.
在区间上恒成立,……2分
,又在区间上是增函数
即实数的取值范围为.……3分
（2）先用数学归纳法证明. 当时，成立, ……4分
假设时，成立,……5分
当时，由（1）知时，函数在区间上是增函数
,……7分
即成立, 当时,成立.……8分
下证. ……9分
. 综上.……10分