人教版数学高三年级《双曲线》教学设计[1].doc

8.2 双曲线

●知识梳理
定义
1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹
2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（＞1）的点的轨迹
方程
1. －=1，c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）
2.－=1，c=，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c）
性质
H：－=1（a＞0，b＞0）
1.范围：|x|≥a，y∈R
2.对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
3.顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
4.渐近线：y=x，y=－x
5.离心率：e=∈（1，+∞）
6.准线：l1：x=－，l2：x=
7.焦半径：P（x，y）∈H，
P在右支上，
r1=|PF1|=ex+a，
r2=|PF2|=ex－a；
P在左支上，
r1=|PF1|=－（ex+a），
r2=|PF2|=－（ex－a）
思考讨论
对于焦点在y轴上的双曲线－=1（a＞0，b＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？
●点击双基
1.（2004年春季北京）双曲线－=1的渐近线方程是
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3.
∴渐近线方程为y=±x=±x.
答案：A
2.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是
A.－=1 B.－=1
C.－=1 D.－=1
解析：可设所求双曲线方程为－y2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2.
答案：A
3.如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是
A.10 B. C.2 D.
解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=.
答案：D
4.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.
解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，±）.易求它到中心的距离为.
答案：
5.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.
解析：利用双曲线的定义.
答案：－=1（x＞0）
●典例剖析
【例1】 根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；
（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.
剖析：设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.
解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，
由题意，得
=，
－=1，
解得a2=，b2=4.
所以双曲线的方程为－=1.
（2）设双曲线方程为－=1.
由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），
∴－=1.
又∵a2+b2=（2）2，
∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），
将点（－3，2）代入得λ＝，
所以双曲线方程为－＝.
（2）设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2=λ（λ≠0）.
【例2】 （2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.
剖析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值 范围.
解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0）. ①
因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|=2.
∵||PM|－|PN||=2|m|>0，
∴0<|m|<1.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上.
故－=1. ②
将①代入②，并解得x2=，
∵1－m2>0，∴1－5m2>0.
解得0<|m|<，
即m的取值范围为（－，0）∪（0，）.
评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.
【例3】 如下图，在双曲线－=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列.

（1）求y1+y3的值；
（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.
剖析：可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性，易知A′与C′也在双曲线上，且A′、B、C′满足题设条件，所以A′C′的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.
（1）解：c==5，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|FB|=|FA|+|FC|. ①
分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，
即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.
于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有
2|BB2|=|AA2|+|CC2|，
此即2×6=y1+y3，可见y1+y3=12.
（2）证明：AC的中垂线方程为
y－=－（x－），
即y－6=－x+. ②
由于A、C均在双曲线上，
所以有－=1，－=1.
相减得=.于是有
=（y1+y3）=·12=13，
故②变为y=－x+，易知此直线过定点D（0，）.
评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.
●闯关训练
夯实基础
1.（2004年天津，4）设P是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于
A.1或5 B.6 C.7 D.9
解析：由渐近线方程y=x，且a=2，
∴b=3.据定义有|PF2|－|PF1|=4，
∴|PF2|=7.
答案：C
2.（2005年春季北京，5）“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析：由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0.
由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然.
答案：C
3.（2003年上海）给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.
______________________________________________________.
解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|－|PF1|=2a，∴|PF2|=17.
答案：|PF2|=17
4.过点A（0，2）可以作____________条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点.
解析：数形结合，两切线、两交线.
答案：4
5.已知双曲线的方程是16x2－9y2=144.
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.
解：（1）由16x2－9y2=144得－=1，
∴a=3，b=4，c=5.焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=±x.
（2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2=
== =0.
∴∠F1PF2=90°.
6.已知双曲线x2－=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.
（1）求直线AB的方程；
（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.
（1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2=k（x－1），
代入双曲线方程得
（2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1+x2=－，
由已知=xp=1，
∴=2.解得k=1.
又k=1时，Δ=16＞0，从而直线AB方程为x－y+1=0.
（2）证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在.
培养能力
7.双曲线kx2－y2＝1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程.
解：由题意k＞0，c=，
渐近线方程l为y=x，
准线方程为x=±，于是A（，），
直线FA的方程为 y=，
于是B（－，）.
由B是AC中点，则xC=2xB－xA＝－，
yC=2yB－yA＝.
将xC、yC代入方程kx2－y2＝1，得
k2c4－10kc2＋25＝0.
解得k（1+）＝5，则k＝4.
所以双曲线方程为4x2－y2＝1．
8.（理）已知l1、l2是过点P（－，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线 y2－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.
（1）求l1的斜率k1的取值范围；
（2）若｜A1B1｜＝｜A2B2｜，求l1、l2的方程.
解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1，则l1的方程为y＝k1（x＋）.
联立得
y＝k1（x＋），
y2－x2＝1，消去y得
（k12－1）x2＋2k12x＋2k12－1＝0. ①
根据题意得k12－1≠0， ②
Δ1＞0，即有12k12－4＞0. ③
完全类似地有－1≠0， ④
Δ2＞0，即有12·－4＞0， ⑤
从而k1∈（－，－）∪（，）且k1≠±1.
（2）由弦长公式得
｜A1B1｜＝. ⑥
完全类似地有
｜A2B2｜＝. ⑦
∵｜A1B1｜＝｜A2B2｜，
∴k1＝±，k2＝.从而
l1：y＝（x＋），l2：y＝－（x＋）或l1：y＝－（x＋），l2：y＝（x＋）．
（文）在双曲线－＝1上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为3∶2，并求M点到两准线的距离．
解：设M（x1，y1），左右两焦点F1、F2，由双曲线第二定义得
｜MF1｜＝ex1＋a，｜MF2｜＝ex1－a，
由已知2（ex1＋a）＝3（ex1－a），
把e=，a=4代入，得x1＝16，y1＝±3.
∴点M的坐标为（16，±3）.
双曲线准线方程为x=±=±.
∴M（16，±3）到准线的距离为12或19．
探究创新
9.（2003年春季上海）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.
解：类似的性质为若MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为（m，n），
则点N的坐标为（－m，－n），
其中－=1.
又设点P的坐标为（x，y），
由kPM=，kPN=，
得kPM·kPN=·=，
将y2=x2－b2，n2=m2－b2，代入得
kPM·kPN=.
评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.
●思悟小结
本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量，难点是双曲线的灵活运用.解决本节问题应注意以下几点：
1.由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：
（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；
（2）已知渐近线的方程bx±ay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上.
2.由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错.
3.解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量.
●教师下载中心
教学点睛
本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在教学中注意以下几点：
1.双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2，若记∠AOB=θ，则e==.

2.双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：
（1）距离之差的绝对值.
（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
3.参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程.
4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是±=0，则可把双曲线方程表示为－=λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程.
拓展题例
【例1】 已知双曲线－=1的离心率e>1+，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?
解：设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|·d，由双曲线的第二定义知
==e，即|PF2|=e|PF1|. ①
再由双曲线的第一定义，得|PF2|－|PF1|=2a. ②
由①②，解得|PF1|=，|PF2|=，
∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
∴+≥2c. ③
利用e=，由③得e2－2e－1≤0，
解得1－≤e≤1+.
∵e>1，
∴1<e≤1+与已知e>1+矛盾.
∴在双曲线的左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项.
【例2】 设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.
分析：由双曲线中心在原点，准线平行于x轴，可设双曲线的方程为－=1.
由离心率为，可得a2+b2=（a）2=c2.
由点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值问题来讨论，得到a、b应满足的另一关系式.从而求出a2、b2，本题得解.
解：依题意，设双曲线的方程为－=1（a>0，b>0）.
∵e==，c2=a2+b2，∴a2=4b2.
设M（x，y）为双曲线上任一点，则
|PM|2=x2+（y－5）2
=b2（－1）+（y－5）2
=（y－4）2+5－b2（|y|≥2b）.
①若4≥2b，则当y=4时，
|PM|min2=5－b2=4，得b2=1，a2=4.
从而所求双曲线方程为－x2=1.
②若4<2b，则当y=2b时，
|PM|min2=4b2－20b+25=4，
得b=（舍去b=），b2=，a2=49.
从而所求双曲线方程为－=1.