高三第一轮复习数学---三角函数的应用问题.doc

高三第一轮复习数学---三角函数的应用问题
一、教学目标：掌握三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式、两角和差及二倍角公式、三角函数的图象、性质为基础，做到融会贯通，熟练应用
二、教学重点：对三角函数知识能整体把握，综合应用，从中学会处理综合问题的一般
三、教学过程：
（一）主要知识：
1. 以掌握三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式、两角和差及二倍角公式、三角函数的图象、性质为基础，做到融会贯通，熟练应用.
（二）主要方法：
1. 能多角度地看问题，灵活周密地考虑问题，分散难点，各个击破.
（三）例题分析：
例1：已知，，求的值。
解:由原式得，
，由于，故均不为0，
所以，即结合，从而.
[思维点拔] 将倍角设法变为单角进行求解.
例2：（1）求函数，的值域；
（2）设，求的最小值.
解:（1）.原函数可化为，令，易知，
且，再令，则，且，易知.
（2）设，，，则
，当，即或
C
Q
S
R
D
B
A
╮
θ
P
M
T
时，有.
[思维点拔]注意换元思想的灵活应用.
例3：如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中
AST是一半径为AT=90m的扇形小山，其余部分都是平地。
一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点
P在弧ST上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边BC，CD上，
求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。
解：设, ,延长RP交AB于M，
易得PQ=MB=AB—AM=100—90，RP=RM—PM=100—90，
从而令 ，，
则，故当时，有最小值；当时，有最大值.
[思维点拔]引进变量建立面积函数后，问题转化为求解三角函数的最值问题.

例4：如图所示，某化工厂反应塔MQ上有温度计AB,
已知｜AM｜=a,｜BM｜=b, 形QMNP的边MN上建
观察点C较安全，观察温度计AB时视角越大越清晰,
问C在线段MN上何处时，对温度计AB观察得最清晰？
解：要使体温计AB观察的最清晰，只要视角∠ACB最大即可，
以NN，NQ所在直线为x轴，y轴，以N为坐标原点建立直角
坐标系.设C(x,0),∠ACB=θ,
则tanθ= ∵a＞b,∴tanθ≤ 等号当且仅当x=，即x=时成立. 又θ∈(0,),θ取最大值arctan.
故C点应在NN上距N为处.
例5：设，已知不论为何实数，恒有和成立.（1）求证：；（2）；（3）若函数的最大值为8，求的值.
解：（1）由已知可得：且，故；
（2）由,因时即恒成立，结合 的图象易得；
（3），因为，由二次函数的单调性可知，当时，，又因为，两式联立，解得：.
[思维点拔]本例利用了正、余弦函数的有界性和二次函数的图象、性质进行解题.

（四）巩固练习：
1、求函数的最大值和最小值。

2、在平面直角坐标系中有点，。
　　（1）求向量的夹角的余弦值用表示的函数；
　　（2）求的最值。

A

B
D
300米

3、如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线，救生员现在岸边的A处，发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边A跑到离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海水中的行进速度为2米/秒。
（1）分析救生员的选择是否正确？
（2）在AD上找一处C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。
1、　　
2（1）　　（2），　　
3（1）救生员的选择是正确的　（2）CD＝米，最短时间为秒　　
四、小结：
对本章所学知识要做到融会贯通，善于转化;解题时要学会分解难点,各个击破.

五、作业：

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