一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).doc

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【学习目标】
1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。
知识框图
求代数式的值
求待定系数
一元二次 韦达定理 应用 构造方程
方程的求 解特殊的二元二次方程组
根公式 二次三项式的因式分解
【内容分析】
韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么

说明：（1）定理成立的条件
（2）注意公式重的负号与b的符号的区别
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例 若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
解：由题意，根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
(3)
(4)
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
，，，
，，
等等．韦达定理体现了整体思想．
【课堂练习】
1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________
2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，
（x1－x2）2＝
3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k= ;
4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ;
5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;
6． 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)x12x2+x1x22 (2) －
7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（2）构造新方程
理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5
            xy=6   
解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根
由方程①解得 z1=2,z2=3
∴原方程组的解为 x1=2,y1=3
                 x2=3,y2=2
显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围
例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2
由题意知
△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4

∴ 为所求。

【典型例题】
例1 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴
所以，当时，方程两实根的积为5．
(2) 由得知：
①当时，，所以方程有两相等实数根，故；
②当时，，由于
，故不合题意，舍去．
综上可得，时，方程的两实根满足．
说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．
例2 已知是一元二次方程的两个实数根．
(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使的值为整数的实数的整数值．
解：(1) 假设存在实数，使成立．
∵ 一元二次方程的两个实数根
∴ ，
又是一元二次方程的两个实数根
∴
∴
，但．
∴不存在实数，使成立．
(2) ∵
∴ 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，
要使的值为整数的实数的整数值为．
说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
(2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法．

一元二次方程根与系数的关系练习题

A 组
1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．若是方程的两个根，则的值为( )
A． B． C． D．
3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )
A． B． C． D．
4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )
A． B． C． D．大小关系不能确定
5．若实数，且满足，则代数式的值为( )
A． B． C． D．
6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ．
9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ．
10．已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ．
11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．

13．已知关于的一元二次方程．
(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两根为，且满足，求的值．

14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．
(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？
(2) 当矩形的对角线长是时，求的值．

B 组
1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．

2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．

3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．
(1) 求实数的取值范围；
(2) 若，求的值．

答案

A组
1． B 2． A 3．A 4．A 5．A
6．
7． 3 8． 9或 9．
10． 11．正确 12．4
13．
14．

B组
1． (2) 不存在
2． (1)当时，方程为，有实根；(2) 当时，也有实根．
3．(1) ； (2) ．