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第十讲 等式的加法和减法
这节课我们要给学生介绍一种新的解题方法-----等式加减消元法。在这类题中有两个或多个未知数需要我们求解。对于二年级的孩子来说，这是比较难解的，那么我们就要找到低年级孩子能够理解和接受的方法，把复杂的问题简单化。这节课的重点就是让学生理解和应用这种方法，通过等式的加、减先消掉一个未知数，求出另一个未知数，再根据数量关系求出被消掉的这个未知数。因为方法比较抽象，所以我们的教学内容先用学生比较熟悉的图形算式来介绍总结这种方法，然后再自然过渡到我们的生活实际中去，这样可以让学生真正理解和应用所学知识。
白鼠先生和蓝皮鼠在跳蚤市场上交易，白鼠先生说：“你可以拿2条鱼和6块糖换我3个面包，或者拿2条鱼和9块糖换我的4个面包.” 蓝皮鼠想了想，觉得不划算，于是他打算只拿糖去换白鼠先生的面包.请你算一算，蓝皮鼠的33块糖能够换到白鼠先生的多少个面包？
【说明】开课的时候，通过讲故事来激发孩子学习的热情，营造一个思考的空间.这道题可放在学习完了今天的内容以后，再让学生独立思考.
同学们，我们已学过两个数的加减法，你听说过两个等式也可以相加减吗？两个等式相加或相减，可以得到一个新的算式.这种做法能够解答许多比较复杂的问题.今天这节课我们就跟蓝皮鼠一起来学习这种方法吧！
＊图形等式新解＊
【例1】 已知： ○+△=16
○-△=2
求：○=（ ） △=（ ）
【分析】观察这两个等式，我们发现它们的不同在于，上一个算式是“+△”，下一个算式是“-△”.这样我们可以把这两个等式左边与右边分别相加，加上一个△和减去一个△正好抵消，得到一个新的等式：○×2=18，○和△就容易求出来．解答如下：
算式（1）和算式（2）相加．
因为○×2=18，所以○=18÷2=9．
又因为○+△=16，所以△=16-9=7．（或根据等式○-△=2，得△=9-2=7．）
【例2】 已知： □+△=10
□+△+△=13
求：△代表几? □代表？
【分析】观察这两个等式，我们发现第二个算式比第一个算式多一个“△”，这样把这两个等式左边与右边分别相减，左边加上一个“□”和减去一个“□”正好抵消，再加上一个“△”和减去一个“△”也正好抵消，右边13-10=3，最后还剩一个 △=3，这样进一步就能求出“□”了.解答如下：
用算式(2)一算式(1)，得到：
因此△=3；
又因为口+△=10，所以口=10-3=7.
所以，△代表3，□代表7.
拓展训练
1、下面的等式中，△和○各代表一个数，各是多少?
△+○=15
△-○=3
【答案】△=（ 9 ） ○=（ 6 ）
2、下面的等式中，◇和口各代表一个数，各是多少?
◇+◇+□=15
◇+□=9
【答案】◇=（ 6 ） □=（ 3 ）
【例3】 已知：□+□+△=16 (1)
□+□+△+△+△=24 (2)
求：□=? △=?
【分析】 第(2)个等式比第(1)个等式多8，是因为多了两个“△”．所以可以用(2)式一(1)式得到一个新的等式：△+△=8．口与△也就容易求出来了．解答如下：
用(2)式一(1)式：
因为2个△=8，所以△=8÷2=4．
又因为□+□+△=16，□+□+4=16，□+□=16-4=12，所以□=12÷2=6．
拓展训练
已知： ☆+☆+☆+△+△=22
△+△+☆+☆+☆+☆+☆=30
【答案】 ☆=( 4 ) △=( 5 )
【例4】 已知： ○+○+△=10 (1)
○+△+△=11 (2)
求：○=（ ）△=（ ）
【分析】观察这两个算式，我们知道未知数只有○和△，那么可以把等式左右相加就得到新的算式：3个○+3个△=21，也就是说○+△=7，把这个算式的得数代入到算式（1）和算式（2）里面就可以分别求出○和△的得数了.解答如下：
用算式(1)+算式(2)，得：
因为3个○+3个△=21，所以○+△=21÷3=7.
把(1)中的○+△换成7，得： ○+7=lO， 所以 ○=10-7=3；
把(2)中的○+△换成7，得： 7+△=11， 所以 △=11-7=4；
所以，○代表3，△代表4.
【例5】 已知： □+△=5 (1)
△+○=6 (2)
□+○=7 (3)
求：三种图形各代表几?
【分析】在这三个不同的图形里，我们知道每两个图形相加的和，如果也求出这三个图形相加的和，就能分别求出这三个图形所代表的数了.解答如下：
把已知的三个等式相加，得：
所以 □+△+○=9 （4）
（算到这里，求这三种图形各代表几的方法就很多了.我们只需要把算式（1）（2）（3）的结果，带到算式（4）里面就可以分别求出了.）
根据(1)式，可以把(4)式中的口+△换成5，得：
5+○=9 ○= 9-5=4
把○=4代入 (2)中，得： △+4=6 △=6-4=2
把○=4代入(3)中，得： □+4=7 □=3
所以，○代表4，△代表2，□代表3.
拓展训练
已知： ○+☆=7
○+□=8
☆+□=11
【答案】○= ( 2 ) ☆=( 5 ) 口=( 6 )
＊生活中的数学＊
【例6】 小玲买了一枝圆珠笔和2本练习本共用去3元钱，又知道一枝圆珠笔比2本练习本多1元．问小玲买一枝圆珠笔多少钱?
【分析】 根据题目的意思，可得到两个等式：
l枝圆珠笔 + 2本练习本=3元
l枝圆珠笔一2本练习本=1元
把这两个等式相加就可以得到一个新的算式，这样就能很快求出一枝圆珠笔的价钱了．在前面已经有了图形等式计算的经验，现在变换成文字就容易了许多.解答如下：
把两个等式相加：
因为2枝圆珠笔4元，所以l枝圆珠笔为4÷2=2(元)
答：小玲买1枝圆珠笔是2元．
拓展训练
小玲买了一枝圆珠笔和2本练习本共用去7元钱，又知道一枝圆珠笔比2本练习本少1元．问小玲买一枝圆珠笔和一个练习本各多少钱?
【答案】 根据题目的意思，可得到两个等式：
2本练习本 + l枝圆珠笔 =7元
2本练习本一l枝圆珠笔=1元
把这两个等式相加就可以得到一个新的算式，这样就能很快求出一本练习本的价钱了．
把两个等式相加：
因为4本练习本是8元，所以l本练习本为8÷4=2(元)
又因为2本练习本+l枝圆珠笔 =7元
所以一枝圆珠笔=7-2×2=3（元）
答：小玲买1枝圆珠笔是3元，l本练习本是2元.
【例7】 益民小饭店第一次买了2千克肉和3千克鱼用去27元，第二次买了来4千克肉和3千克鱼用去39元．请你算一算肉、鱼每千克各多少元?
【分析】根据题意，可列出两个等式：
第一次： 2千克肉+3千克鱼=27元 (1)
第二次： 4千克肉+3千克鱼=39元 (2)
从式中可看出，第二次比第一次多用去了39-27=12(元)，是因为第二次比第一次多买了2千克肉．可以用(2)式一(1)式得到一个新的等式，问题就很容易解决了．解答如下：
用(2)式一(1)式：
因为2千克肉的价钱是12元，所以l千克肉的价钱是12÷2=6(元)；
又因为2千克肉+3千克鱼=27元，所以3千克鱼=27-12=15元，1千克鱼价钱是15÷3=5(元)．
答：肉每千克6元，鱼每千克5元．
拓展训练
已知5个苹果与3个梨的重量和是350克；2个苹果与3个梨的重量和是230克.求1个苹果和1个梨各重多少克?(假设每个苹果、每个梨的重量分别相等)
【答案】由题意有：
由(1)式一(2)式得
所以，1个苹果重40克，1个梨重50克.
【例8】 草地上有许多兔子，数一数黑兔与白兔一共6只，黑兔与灰兔一共7只，白兔与灰兔一共5只．问草地上三种兔子各多少只?
【分析】 根据题目的意思，可以得到三个等式：
黑兔+白兔=6只
黑兔+灰兔=7只
白兔+灰兔=5只
这也是一道复杂的数学问题，需要等式的多次加与减，才能解决问题．我们在计算的过程中，可以让学生回顾例5的计算方法.解答如下：
先把三个等式的左边与右边分别相加起来.
所以 黑兔+白兔+灰兔=18÷2=9(只) (4)
再用（4）式－（1）式：
同理用(4)式－(2)式，可得白兔=2(只) I
用(4)式一(3)式，可得黑兔=4(只) l
答：草地上黑兔有4只，白兔有2只，灰兔有3只．
白鼠先生和蓝皮鼠在跳蚤市场上交易，白鼠先生说：“你可以拿2条鱼和6块糖换我3个面包，或者拿2条鱼和9块糖换我的4个面包.” 蓝皮鼠想了想，觉得不划算，于是他打算只拿糖去换白鼠先生的面包.请你算一算，蓝皮鼠的33块糖能够换到白鼠先生的多少个面包？
【解答】根据题意，可列出两个数量关系式：
2条鱼+6块糖→3个面包
2条鱼+9块糖→4个面包
用下面的式子减去上面的式子，可得3块糖可以换1个面包，
那么，33块糖可以换成33÷3=11（个）面包.
【附1】已知： ☆+☆+☆+△+△=13
☆+☆+△+△+△=12
☆=( 3 ) △=( 2 )
【分析】用上一个等式加下面一个等式，就得到一个新的等式：5个☆+5个△=25，那么☆+△=5.把它代入到第一个式子就能求出：☆=13-5×2=3，代入第二个式子就能求出：△=12-5×2=2.
【附2】下列式中梨、苹果与橘子各代表一个数，请你算出来．
梨+梨+苹果+橘子=13
梨+苹果+苹果+橘子=12
梨+苹果+橘子+橘子=11
【分析】先把三个等式相加：
所以，梨+苹果+橘子=9，把这个算式代入到第一个算式中，梨=13-9=4（个），代入到第二个算式中，苹果=12-9=3（个），代入到第三个算式中，橘子=11-9=2（个）.
【附3】买5本漫画书与8本故事书要花57元，买8本漫画书与8本故事书要花72元.那么要单买6本漫画书要花多少钱？
【分析】根据题意，可列出两个等式：
5本漫画书+8本故事书=57（元）
8本漫画书+8本故事书=72（元）
用下面的式子减去上面的式子得到：3本漫画书=72-57=15（元）
那么，6本漫画书=15×2=30（元）
【附4】小林家养了一只大白兔和一只小花猫，有一天，小林 抱着大白兔站在体重计上称一称，正好是12千克，后来小林放下大白兔，又抱起小花猫站在体重计上称一称，正好是10千克；最后小林把大白兔和小花猫一起放在体重计上称一称是4千克．请问小林、大白兔和小花猫各是多少千克?
【分析】根据题意，得到下面三个等式， 相加：
小林+大白兔=12千克 （1）
小林+小花猫=10千克 （2）
+） 大白兔+小花猫=4千克 （3）
（小林+大白兔+小花猫）×2=26个
所以，小林+大白兔+小花猫=13（千克） （4）
再用（4）式－（1）式：小花猫重是13－12=1（千克）
（4）式－（2）式：大白兔重是13－10=3（千克）
根据（1）式，得小林重是12-3=9（千克）
练 习 十
1. 已知：□一△=6，□+△=24.求：□=( 15 )，△=( 9 ).
2. 已知：△+○=16，△+△+△+○=36.求：△=( 10 )，○=( 6 ).
3. 已知：○+○+□=16，□+□+○=17.求：○=( 5 )，□=( 6 ).
4. 一件上衣与两条裤子的总价是500元，这件上衣比这两条裤子的价钱贵100元.求：一件上衣多少钱?一条裤子多少钱?（两条裤子是一样的）
【答案】根据题目的意思，可得到两个等式：
1件上衣 + 2条裤子 =500元
1件上衣一2条裤子=100元
把这两个等式相加就可以得到一个新的算式，2件上衣=600（元） ，1件上衣=600÷2=300（元）.
1条裤子=（500-300）÷2=100（元）
答：一件上衣300元钱，一条裤子100元钱.
5. 7个篮球与4个排球共值145元钱，5个篮球与4个排球共值115元钱.求：1个篮球多少钱?1个排球多少钱?
【答案】根据题意，得到下面两个等式，并相减：
7个篮球+4个排球=145元
-）5个篮球+4个排球=115元
2个篮球 = 30元
所以 1个篮球=40÷2=15（元）
又因为 7个篮球+4个排球=145元
所以 1个排球=（145-15×7）÷4=10（元）
答：1个篮球15元，1个排球10元.
6. 有红、黑、白三种颜色的球.红的黑的合起来是10个，红的白的合起来是7个，黑的白的合起来是5个，三种球各有多少个?
【答案】根据题意，得到下面三个等式，并相加：
红的+黑的=10个 （1）
红的+白的=79个 （2）
+） 黑的+白的= 5个 （3）
（红的+黑的+白的）×2=22个
所以，红的+黑的+白的=22÷2=11（个） （4）
用（4）式-（1）式得：白色的球是11-10=1（个）
（4）式-（2）式得：黑色的球是11-7=4（个）
根据（1）式得：红色的球是10-4=6（个）
答：红色的球6个，白色的球1个，黑色的球4个.
底片与照片
小慧可喜欢照相了.现在，她又和小伙伴一起坐在大榕树下，老师给他们拍集体照.
每次她拿到照片时，不但要欣赏那美丽的画面，还爱琢磨：底片中的白色部分，冲洗后将变成黑色；而黑色部分冲洗后又变成了白色.
那么，左面这张底片冲洗以后，得到的是哪一张照片呢？请小朋友告诉她，是照片1还是照片2？
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