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251. 已知两平面α，β相交于直线a，直线b在β内与直线a相交于A点，直线c在平面α内与直线a平行，请用反证法论证b,c为异面直线.
解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论.
证：用反证法.
假设b,c共面，则b∥c或b,c相交.
(1)若b∥c,∵ c∥a, ∴ a∥b这与b∩a＝A的已知条件矛盾；
(2)若b∩c＝P,∵ bβ，∴ P∈β.[来源:学&科&网]
又∵ cα，∴ P∈α. ∴ P∈α∩β而α∩β＝a.
∴ P∈a，这样c,a有了公共点P，这与a∥c的已知条件矛盾.
综上所述，假设不成立，所以b、c为异面直线.
说明 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.
252. 如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AA1和的中点分别是E、F.
(1)证明EF是AA1与BD1的公垂线段；
(2)求异面直线AA1和BD1间的距离.
解析：(1)连接ED1、EB，
则显然ED1＝EB＝a
又F为BD1之中点.
∴ EF⊥BD1；
连接FA1，FA.[来源:Z§xx§k.Com][来源:学,科,网Z,X,X,K]
∵ F为正方体的中心，
∴ FA＝FA1，又E为AA1之中点，
∴ EF⊥A1A.
故EF为AA1与BD1的公垂线段.
(2)在RtΔEFD1中
EF＝＝.
故AA1到BD1间的距离是.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.[来源:学&科&网]
253. 如图所示，正三棱锥S—ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角.
[来源:学科网]
解析：计算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G，连GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GE＝BC，GF＝SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a，那么GF＝GE＝a,EA＝EB＝a,EF＝＝a，因为ΔEGF为等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF与SA所成的角为45°.
说明 异面直线所成角的求法：
利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求.
254. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足＝＝＝＝k.
(1)求证：M、N、P、Q共面.
(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)[来源:Z|xx|k.Com]
解析：(1)∵ ＝＝k[来源:学科网]
∴ MQ∥BD，且＝
∴ ＝＝
∴ MQ＝BD
又 ＝＝k
∴ PN∥BD，且＝
∴ ＝＝从而NP＝BD
∴ MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.
(2)∵ ＝，＝
∴ ＝＝,＝
∴ MN∥AC，又NP∥BD.
∴ MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.
∵ MNPQ是正方形，∴ ∠MNP＝90°
∴ AC与BD所成的角为90°，
又AC＝a，BD＝b，＝＝
∴ MN＝a
又 MQ＝b,且MQ＝MN，
b＝a，即k＝.
说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.
255.已知：直线a和直线b是异面直线，直线c∥a，直线b与c不相交，求证：b、c是异面直线.
证：因为b,c不相交，b、c的位置关系有b∥c或b、c异面两种可能.
假设b∥c,∵ c∥a,∴ a∥b，这与已知a,b是异面直线矛盾.
所以b与c不能平行，又b、c不相交
所以b,c是异面直线.[来源:Zxxk.Com]
256.分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?
证明：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面α内，这时A、B、C、D四点都在α上，由公理1知A、B、C、Dα，这与已知AB与CD异面矛盾，所以AC、BD一定是异面直线.
257. 如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是( )
A. B. C. D. [来源:学科网]
解析：过A点在平面ABB1A1内作AF，使A1F＝D1F1，则ADF1F是平行四边形，∴FA∥DF1，再过E1在平面ABB1A1内作E1E∥FA，则∠BE1E即是BE1与DF1所成的角，由已知BE1＝DF1＝，ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴ E1E＝A1B1，
又DF1＝AF＝E1E，DF1＝BE1.
∴ E1E＝A1B1，EB＝A1B1
在ΔBE1E中，cos∠BE1E＝＝.
∴ 应选A.
258. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
解析：由图所示，AM与CN是异面直线，过N作平行于AM的平行线NP，交AB于P，由定义可知∠PNC就是AM与CN所成的角.因ΔPBC，ΔPBN，ΔCBN皆为直角三角形，且BP＝，BN＝，BC＝1，故PN2＝()2+()2＝，CN2＝()2+12＝，PC2＝()2+12＝，在ΔPCN中cos∠PNC＝，所以cos∠PNC＝，因此应选D.
259. 已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析： 过P点分别作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′的夹角为50°，由异面直线所成的角的定义可知，过P点与a′,b′成30°角的条数，就是所求的条数.
画图可知，过P点与a′、b′成30°角的直线只有两条.
∴ 应选B.
260. .若a、b为异面直线，P为空间一点，过P且与a、b所成角均为的直线有( )
A.二条 B.二条或三条
C.二条或四条 D.二条、三条或四条
解析：D
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