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第1计 芝麻开门 点到成功
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.
●典例示范
［例题］ （2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出
，其中 .
令，则 .
［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.
莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意.
［解Ⅰ］ 将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有
对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1
对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.
［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.
第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项.
［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项，并将和数列 中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.
因此得到 这就是本题第2空的答案.
［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案.
事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是这个数的左上角的那个数. 用等式表示就是
［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.
［法1］ 由知，可用合项的办法，将的和式逐步合项.
［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即
根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而
［法3］ （2）将代入条件式，并变形得
取令得
，
… … …
以上诸式两边分别相加，得
［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.
●对应训练
1．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.
2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为 .
●参考解答
1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.
连接P1F2 、P2F2 、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10
如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70
由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.
2．找“点”——动点P、Q的极限点.
如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合.
则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 .
显然V棱柱.
∴∶=
于是奇兵天降——答案为.
［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.
第2计 西瓜开门 滚到成功
●计名释义
比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.
数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.
●典例示范
［题1］ （2006年赣卷第5题）
对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f ¢（x）³0，则必有
A. f（0）＋f（2）< 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1）
C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.
其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；
其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.
因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.
［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.
（ii）若f＇(x)不恒为0时. 则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在上为增函数；f＇(x)≤0时x ≤1. 即f（x）在上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.
综合（i），（ii），本题的正确答案为C.
［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f＇(x) ≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.
［再析］ 本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）. 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.
［解二］ （i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件.
（ii）f＇(x)≠0. 可设f(x) =（x-1）2 又 f＇(x)=2（x-1）.
满足 (x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0
选项C，D符合条件. 综合（i），（ii）答案为C.
［插语］ 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.
［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f ¢（x）= 0找最值点x =0，由f ¢（x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.
由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.
［解三］ （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (x) = 1符合条件. （右图水平直线）
（ii）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1) f ¢（x）≥0
若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f ¢（x）≥0.
［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f ¢（x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函
数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.
［变题］ 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f ¢（x）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) C. f（x）= (x-1) D. f（x）= (x-1)
［解析］ 对A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义；
对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；
答案只能是D. 对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.
且f ¢（x）=(x-1) 使得 (x-1) f＇(x) =(x-1)(x-1) ≥0.
［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f¢（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整数，且n≥m.
［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.
［题2］ 已知实数x，y满足等式 ，试求分式的最值。
［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.
［解一］ （函数方程思想运用）
令 y = k (x-5) 与方程联立
消y，得：
根据x的范围应用根的分布得不等式组：
解得 即 ≤≤ 即所求的最小值为，最大值为.
［插语］ 解出≤≤，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.
［解二］ （数形结合思想运用）
由得椭圆方程 ，
0
看成是过椭圆上的点（x，y），(5，0)的直
线斜率（图右）.
联立 得
令得，故 的最小值为，最大值为.
［插语］ 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.
［点评］ “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.
解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.
●对应训练
1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的 ( )
2.函数y=1- (-1≤x<0)的反函数是 ( )
A.y=-(0<x≤1) B.y= (0<x≤1)
C. y=- (-1≤x<0) D. y= (-1≤x<0)
3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是 ( )
A.b2≤ac B.b2>ac C.b2>ac且a>0 D.b2>ac且a<0
●参考答案
1.【思考】 利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像，选项D中无x>0的图像，均应否定；当x=y∈R+时，lg无意义，否定A,选C．
【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当x≠0且y>x时，由lgy+lg=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).
2.【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.
原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B、D.
∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A．
3.解析一 分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假.
取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.
解析二 由选择支,联想到二次函数的判别式.
令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,
f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.
【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:
4b<4a+c, ①
2b<-a-c, ②
①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.
用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.
第3计 诸葛开门 扇到成功
●计名释义
诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量.
数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用.
●典例示范
［题1］ 已知f (x)= 试求 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值.
［分析］ 若分别求f (x)在x= -5，-4，…，0，…，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x)+f (1-x)的结果.
［解析］ 因为 f (x)+ f (1-x) =
=
=
所以 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )
=［（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+…+（f (6 )+ f (-5 )）］
=［f (1-x )+ f (x )］×6 =
［点评］ 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法.
●对应训练
1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角)，那么cosαcosβcosγ的最大值等于 .
2.求已知离心率e=,过点(1,0)且与直线l:2x-y+3=0相切于点P(-),长轴平行于y轴的椭圆方程.
3.若椭圆 (a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.
●参考答案
1. 命sin2α=sin2β=sin2γ=,则cos2α=cos2β=cos2γ=.α、β、γ为锐角时，cosα=cosβ=cosγ=.
∴cosαcosβcosγ=.
(注：根据解题常识，最大值应在cosα=cosβ=cosγ时取得).
2.解析 按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程.
若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.
已知e=,则a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e=的椭圆系为
(x+，把点P(-看做当k→0时的极限情形(点椭圆),则与直线l:2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:
(x+
又所求的椭圆过（1，0）点,代入求得λ=-.
因此所求椭圆方程为x2+=1.
点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.
3.解析 若按常规,需分两种情况考虑:
①A,B两点都在椭圆外;
②A,B两点都在椭圆内.
若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.
设a的允许值的集合为全集I={a|a∈R,a>0},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围.
易得线段AB的方程为y=x+1,x∈［1,3］,
由方程组,x∈［1,3］,
a2的值在［1,3］内递增,且x=1和x=3时分别得a2=或a2=,故≤a2≤.
∵a>0,∴≤a≤.
故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为0<a<或a>.
第4计 关羽开门 刀举成功
●计名释义
关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀.
数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！
●典例示范
［例1］ （2006年四川卷第19题）
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.
（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1；
（Ⅱ）求二面角P—AE—D的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.
［分析］ 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.
［解Ⅰ］ 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里.
易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）.
［插语］ 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.
【例2】 (04·重庆卷题21)设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.
（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；
（Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
【分析】 （Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|=|AB|.
(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2
（3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.
显然，利用向量知识证=0,当为明智之举.
【解答】 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.显然，满足|OQ|=|AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p),
x=,代入：y=tanα·-2ptanα.即tanα·y2-2py-4p2tanα=0.
此方程有不同二实根y1y2,
∴y1+y2=,y1y2=-4p2.
∵ =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.
∴,故点O仍在以AB为直径的圆上.
【分析】 (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:
(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.
(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.
这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.
【解答】（Ⅱ）直线AB的倾角为α,当α=90°时，⊙H的半径为2p,S⊙H=4πp2.
当α≠90°时，不妨设α∈［0,)，则
综上，|AB|min=4p,当且仅当α=90°时，（S⊙H）min=4πp2,相应的直线AB的方程为：x=2p.
别解：由（1）知恒有∠AOB=90°.
∴||2=|
=
≥2x1x2+2p(x1+x2)
≥2x1x2+4p.
∵y1y2=-4p2,∴x1x2=
于是||2≥16p2,| |min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，S⊙H=4πp2.
【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.
●对应训练
1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.
(1)求数列{an}的通项公式，并求之值.
(2)证明0<f<1.
2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示).
(1)求证:PD⊥PC;
(2)求二面角P—DB—C的大小.
●参考答案
1.分析： (1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).
(2)可以预见:f展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这
种数列的求和方法是“错项相减”.
(3)f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.
解答： (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2,
即Sn=n2,
∴an=Sn-Sn-1=2n-1,
=；
(2)由(1)知an=2n-1.
∴f=1× ①
②
①-②:
f =
=
=
=1-
设g(x)=,∵g′(x)=3-x+(x+1)·3-xln3· (-1)=.
∴g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，［g(n)］max=g(1)=,
又当n→∞时,g(n)→0,∴∈,从而f∈.
2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.
(1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC.
(2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,只须作OM⊥BD即可.
解答: (1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.
(2)作OM⊥BD于M，连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角,
∵PB=6,
PD=2,∴BD=4,PM==3,
已证PD⊥PC,∴PC=,
PO=.
sin∠PMO=,∠PMO=arcsin,
即所求二面角P—DB—C的大小为arcsin.
第5计 才子开门 风情万种
●计名释义
所谓才子，就是才思繁捷的弟子. 数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画. 这里，人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后. 别人肩上的重负，移到他的掌上，都成了玩意儿.
●典例示范
［引例］ 试比较以下三数的大小：，，
［解一］ 建构函数法
设f (x) = f＇(x)=ln≤0 f (x)为减函数 >>
［旁白］ 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.
［评语］ 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.
［解二］ 作差比较法
-=<0
-=>0
［旁白］ 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.
［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.
［旁白］ 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.
［奇解］ ×=<1 ×=>1 >>
［旁白］ 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.
［自评］ 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.
［旁白］ 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？
才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解
［正解］ f (x) = f＇(x)=ln<0 (x≥3)
>> >>
［旁白］ 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.
［评语］ 因为数3比e大，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.
【例1】 已知向量a=(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=，则b= ( )
A．(，) B．(,) C.() D．（1，0）
【特解】 由|b|=1，排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为B.
【评说】 本解看似简单，但想时不易，要看出向量b与A()是平行向量，一般考生不能做到.
【别解】 因为b是不平行于x轴的单位向量，可排除C、D两项. 又a·b=,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.
【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！
【另解】 设b=(cosα,sinα),则a·b=(,1)·(cosα,sinα)= cosα+sinα= sin(60°+α)=在区间（0，π）上解α得：α=60°.
故b=().
【评说】 本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.
【错解】 选A者,误在(a，
选C者,误在|（）·a|=1.
选D者，没有考虑到（1，0）与x轴平行.
【评说】 本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.
●对应训练
1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x·f(x)<0}等于 （ ）
A.{x|x>3或-3<x<0} B.{x|0<x<3或x<-3}
C.{x|x>3或x<-3} D.{x|0<x<3或-3<x<0}
2.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 .(用数字作答)
●参考答案
1.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手，结合其草图即可写出所求答案.
解析一 由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图（1）),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x·f(x)<0的解集为{x|0<x<3或-3<x<0},选D.
(1) (2)
解析二 由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x>0)的草图(如图（2）),∵x、f(x)均为R上的奇函数,∴x·f(x)为偶函数,∴不等式x·f(x)<0的解集关于原点对称,故先解借助图象得0<x<3,由对称性得x·f(x)<0的解集为{x|0<x<3或-3<x<0},故选D.
解析三 借助图（1）或图（2）,取特殊值x=2,知适合不等式x·f(x)<0,排除A、C;又奇·奇=偶,∴x·f(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除B,故选D.
【点评】 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二.
奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)·奇(偶)=偶.
数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可.
2.【分析】 排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并且C，D捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.
【通解】 考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定：据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它的限制条件，使其与其他四人进行排列共有A种排法，在所有的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A种，故满足条件的排法种数共有=20.
【正解】 5个元素设作A,B,（C,D）,x,y.将排列种数分两类:
第一类,x,y相连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C=8种方法.
第二类,x,y不连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C=12种方法.
【评说】 先分类:“相连”与“不连”为完全划分；后分步：第1步组合，第2步排列，也是完全划分.
【另解】 5个元素设作A，B，（C，D），x,y.五个时位设作a,b,(c,d),e,f.
第1步考虑元素x到位，有5种可能；
第2步考虑元素y到位，有4种可能；
第3步，A，B，（C，D）按顺序到位，只1种可能.
由乘法原理，方法总数为5×4=20种.
【评说】 “另解”比“正解”简便，但思维要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3个位置上，A，B，（C，D）按序到位情况只1种.——这点，一般学生不易想通.
【别解】 设所求的排法总数为x种，在每1个排好的队列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，则有xP3=P5x==5×4=20.
【评说】 别解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.
第6计 勇士开门 手脚咚咚
●计名释义
一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.”
勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！”说完，勇士扑向大鼓，拳打脚踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！”
考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯分是图，雅的，俗的，一并上阵.
●典例示范
【例1】 已知x,y∈, a∈R，且,则cos (x+2y)的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【思考】 代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形似之处，能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢？
解：由条件得：
∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根.
【插语】 这是勇士之举，采用手脚并用，谁会想到用方程根来解决它呢?
设f (t)=t3+sint-2a. 当t∈时，均为增函数，而-2a为常数.∴上的单调增函数.
∵f (x)= f (-2y)=0.
∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 选B.
【点评】 想到方程根使所给2个式子合二为一，是本题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个难点.
【例2】 已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=(,-1) ， 则 |2a - b| 的最大值、最小值分别是( )
A.4,0 B.4,2 C.16,0 D.4,0
【解答】 如图，点A(cosθ,sinθ)在圆上运动时，延OA到C，使==2a, 求的最值，
显然.当与
反向时有最大值4,与同向时有
最小值0. ∴选D.
【点评】 本例选自04·湖南卷6（文），
解题思想很简单，谁不知道“三角形两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边”呢， 例2题解图
为求极值，我们的勇士勇敢地到极地——当
△BOC不复存在时，才有可能取得.
【例3】 设f (x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0，且g(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
【解答】 设F(x)= f (x)g(x), 当x<0时，∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.
∴F(x)在R上为增函数.
∵F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)·g (x).=-F(x).
故F(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
∴F(x)在R上亦为增函数.
已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.
构造如图的F（x）的图象，可知 例3题解图
F(x)<0的解集为x∈(-∞,-3)∪(0,3).
【点评】 本例选自04·湖南卷12题,
是小题中的压轴题，显然，不懂得
导数基本知识对待本例是无能为力的，高中
代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形，使问题更有说服力.
●对应训练
1.下列命题正确的是 ( )
A.若{an}和{bn}的极限都不存在，则{an+bn}的极值一定不存在
B.若{an}和{bn}的极限都存在，则{an+bn}的极限一定存在
C.若{an+bn}的极限不存在，则{an}和{bn}的极限都一定不存在
D.若{an+bn}的极限存在，则{an}和{bn}的极限要么都存在，要么都不存在
2.过定点M (-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=
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