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2011年学业水平考试模拟考试
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．考试时间120分钟．
2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的地方．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效．
4．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作
A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%
第2题图
2.如图，右面几何体的俯视图是
A.
B.
C.
D.

3.在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为帕的钢材，那么的原数为
A．4 600 000 B．46 000 000 C．460 000 000 D．4 600 000 000
4.下列说法或运算正确的是
A．1.0×102有3个有效数字 B． C． D．a10÷a 4= a6
5.已知反比例函数y=，则下列点中在这个反比例函数图象的上的是
A.（－2，1） B.（1，－2） C.（－2，－2） D.（1，2）
6.下列说法错误的是
A．的平方根是±2 B．是分数 C．是有理数 D． 是无理数
A

B

C

D

E

第8题图
7.在10到99这些连续正整数中任意选一个数，其中每个数被选出的机会相等，求选出的数其十位数字与个位数字的和为9的概率
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是
A．40° B．60° C．70° D．80°

B
A
第9题图
9. 已知两圆的半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d．如图所示，若数轴上的点A表示R－r，点B表示R＋r，当两圆外离时，表示圆心距d的点D所在的位置是
A．在点B右侧 B．与点B重合
C．在点A和点B之间 D．在点A左侧
10.已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为
A．4 B. 2 C． D．±2
11.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是
A
B
C
D
O
E
F
第12题图
A. －3，2 B. －3，－2 C. 3，2 D. 3，－2
12.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF等于
A．9
B．10
C．11
D．12
13.已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
14.如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第8个正△A8B8C8的面积是
A1
B1
C1
A2
A3
B2
B3
C2
C3
第14题图
A． B． C． D．

O
14
12
10
96
86
66
30
x/分
y/千米
A
B
C
D
第15题图
乙
甲

15.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）
随时间x（分）变化的图象（全程）如图所示，根据图象判定下列结论不正确的是
A．甲先到达终点 B．前30分钟，甲在乙的前面
C．第48分钟时，两人第一次相遇D．这次比赛的全程是28千米
第Ⅱ卷（非选择题 共75分）
题号
二
三
总分
22⑴
22⑵
23⑴
23⑵
24
25
26
27
28
得分

二、填空题：本大题共6个小题.每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.

16.分解因式：=____________________________.
17.小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数约是_______.
第18题图
18.如图所示，一个宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 cm..

19.如图，的正切值等于 .
O
x
y
第20题图
20.已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是_______________
第21题图

x
y
O
1
第19题图

21.已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若， ．下列结论：①△≌△；②点到直线的距离为；③；④；⑤,其中正确的结论是__________________.(将正确结论的序号填在横线上.)
三、解答题：本大题共7个小题.共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22. (本小题满分7分)

⑴解不等式组

⑵如图，将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．
A
B
C
O
x
y
第22题图
求该抛物线的解析式.

23. (本小题满分7分)

⑴解方程：

A
B
C
D
F
E
第23题图
⑵如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
求证：BF=CE．

24. (本小题满分8分)

为了增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时.为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
⑴在这次调查中共调查了多少名学生？
⑵求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充频数分布直方图；
⑶求表示户外活动时间 1小时的扇形圆心角的度数；
⑷本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？户外活动时间的众数和中位数是多少.

25. (本小题满分8分)

某商场为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图所示是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（结果精确到0.1m）
第25题图
参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31.

26. (本小题满分9分)

为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.
⑴分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
⑵若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？

27. (本小题满分9分)

在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．
⑴如图1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；
⑵将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO = OB．
求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
图2
A
D
O
B
C
2
1
M
N
图1
A
D
B
M
N
1
2
图3
A
D
O
B
C
2
1
M
N
O
第27题图
⑶将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．

28. (本小题满分9分)

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
⑴设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．
⑵当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
M
A
D
C
B
P
Q
E
第28题图
⑶随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

A
D
C
B
（备用图）
M

2011年学业水平考试模拟考试
数学试题参考答案与评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
B
D
C
D
D
B
B
C
C
B
A
D
A
C
D
二、填空题
16. 17. 2100 18. 10 19. 20.或 21. ①③⑤
三、解答题
22.解：⑴ 解不等式①得， 1分
解不等式②得x≤2， 2分
∴不等式组的解集为－1＜x≤2. 3分
⑵由题意知：A（0，6），C（6，0）， 5分
设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则： 6分
解得：
∴该抛物线的解析式为. 7分
23.⑴解：，
，
，
， 1分
x=1， 2分
经检验，x=1是原方程的根. 3分
⑵∵CE⊥AF，FB⊥AF，
∴∠DEC ＝∠DFB＝90°， 4分
又∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD， 且∠EDC ＝∠FDB（对顶角相等） 5分
∴△BFD≌△CDE（AAS）， 6分
∴BF=CE． 7分
24.解：（1）调查人数=1020%=50（人）； 1分
（2）户外活动时间为1.5小时的人数=5024%=12（人）； 2分
补全频数分布直方图； 3分
（3）表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数=360 o =144 o； 4分
（4）户外活动的平均时间=（小时）． 5分
∵1.18＞1 ，
∴平均活动时间符合上级要求； 6分
户外活动时间的众数和中位数均为1． 8分
25.解：小亮说的对. 1分
在△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，BA＝10，
∴tan∠BAD＝ 2分
∴BD＝10×tan 18° 3分
∴CD＝BD―BC＝10×tan 18°―0.5…………………………………………………4分
在△ABD中，∠CDE＝90°―∠BAD＝72 5分
∵CE⊥ED
∴sin∠CDE＝……………………………………………………………………6分
∴CE＝CD ×sin∠CDE 7分
＝sin72×（10×tan 18―0.5）
≈2.6（m）
答：CE为2.6m………………………………………………………………………8分
25. 解：（1）由题意可知，
当x≤100时，购买一个需元，故； 1分
当x≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以x≤+100=250， 2分
即100≤x≤250时，购买一个需5000－10(x－100)元，故y1=6000x－10x2； 3分
当x>250时，购买一个需3500元，故； 4分
. 5分
(2) 当0<x≤100时，y1=5000x≤500000<1400000； 6分
当100<x≤250时，y1=6000x－10x2=－10(x－300)2+900000<1400000； 7分
所以，由，得； 8分
由，得．
故选择甲商家，最多能购买400个路灯． 9分
27. 解：（1）AO = BD，AO⊥BD； 2分
⑵证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E， 3分
∴∠ACO = ∠BEO．
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，

A
D
O
B
C
2
1
M
N
E
F
∴△AOC ≌ △BOE．
∴AC = BE．
又∵∠1 = 45°，
∴∠ACO = ∠BEO = 135°．
∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，
∴BE = BD，∠EBD = 90°．
∴AC = BD． 4分
延长AC交DB的延长线于F，
∵BE∥AC，
∴∠AFD = 90°，
∴AC⊥BD． 5分
⑶如图5，过点B作BE∥CA交DO于E， 6分
A
O
B
C
1
D
2
M
N
E
∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC ，
∴△BOE ∽ △AOC． 7分
∴． 8分
又∵OB = kAO，
由（2）的方法易得 BE = BD，
∴． 9分
28.解：（1）y = 2t； 1分
（2）当BP = 1时，有两种情形：
①如图1，若点P从点M向点B运动， 2分
有 MB = = 4，MP = MQ = 3，
∴PQ = 6．
连接EM，
∵△EPQ是等边三角形，
∴EM⊥PQ．∴．
∵AB = ，∴点E在AD上． 3分
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为． 4分
②若点P从点B向点M运动， 5分
由题意得 ．
PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．
设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则HP = ，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，
∴HF = 3，PF = 6．
∴FG = FE = 2．
又∵FD = 2，
∴点G与点D重合， 6分
如图2．此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为．
7分
（3）能. 8分
A
D
C
B
P
M
Q
E
F
H
G
图2
4≤t≤5． 9分
A
D
C
B
P
M
Q
E
图1

数学试题 第12页（共12页）