上海市复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：不等式.doc

复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：不等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设M＝2a(a－2)＋3，N＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有( )
A．M＞N B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
【答案】B
2．不等式 对于恒成立，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
3．今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。当甲、乙两人为一方，丙、丁两人为另一方时，双方势均力敌；当甲与丙对调以后，甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方；而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。那么，甲、乙、丙、丁四人的“体力”由强到弱的顺序是( )
A．丁、乙、甲、丙 B．乙、丁、甲、丙
C．丁、乙、丙、甲 D．乙、丁、丙、甲
【答案】A
4．已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数 的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
5．已知，以下三个结论：①，②
③，其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
6．设函数，则( )
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
【答案】A
7．实数满足，则下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用( )年报废最划算。
A．3 B．5 C．7 D．10
【答案】D
9．若，则下列不等式：①a＋b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④中，正确的不等式有( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
10．如果，那么下列不等式一定成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
11．若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．a2＞b2 B．＜1 C．lg（a－b）＞0 D．
【答案】D
12．已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足：，若实数满足：，则的值为( )
A．3 B． C．2 D．8
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．设，则的最大值是 。
【答案】1
14．等式组的解集是 .
【答案】
15．若函数是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足，则不等式的解集为
【答案】（0，+）
16．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
【答案】
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
【答案】证法1：∵a4+b4+c4-（a2b2+b2c2+c2a2）=[(a4-2a2b2+b4)+( b4-2a2b2+c4)+( c4-2c2a2+a4)]
=[(a2-b2)2+（b2-c2）2+(c2-a2)2] ≥0，∴a4+b4+c4≥a2b2+ b2c2+ c2a2。
证法2：不妨设a2≥b2≥c2,则由排序原理顺序和≥乱序和，得a2×a2+b2×b2+c2×c2≥a2b2+ b2c2+c2a2，即a4+b4+c4≥a2b2+ b2c2+c2a2，当且仅当a2= b2= c2时，等号成立.
18．已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400千米处的B地，每两辆货车间距离为d千米，现已知d与v的平方成正比，且当v=20（千米／时）时，d=1（千米）．
(1）写出d与v的函数关系；
(2）若不计货车的长度，则26辆货车都到达B地最少需要多少小时？此时货车速度是多少？
【答案】（1）设d=kv2（其中k为比例系数，k>0），由v=20,d=1得k=∴d=
(2）∵每两列货车间距离为d千米，∴最后一列货车与第一列货车间距离为25d，∴最后一列货车达到B地的时间为t=，代入d=得
t=≥2＝10，当且仅当v=80千米／时等号成立。∴26辆货车到达B地最少用10小时，此时货车速度为80千米／时。
19．设命题P：关于x的不等式a>1(a>0且a≠1)为{x|-a<x<2a};命题Q：y=lg(ax-x+a)的定义域为R。
如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围
【答案】(1）依题得：（xN*）
(2）解不等式
∵xN*,∴3≤x≤17，故从第3年开始盈利。
(3）（Ⅰ）
当且仅当时，即x=7时等号成立．
到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元．
(Ⅱ）y=-2x2+40x-98=-(x-10)2+102，当x=10时，ymax=102
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元
盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．
20．已知正数a、b、c满足，求证：
【答案】要证
只需证
即只要证
两边都是非负数，

这就是已知条件，
且以上各步都可逆，

21．已知a，b∈R，且a+b=1．求证：．
【答案】

即（当且仅当时，取等号）
22．已知关于x，y的二元一次不等式组
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．
【答案】 (1)作出二元一次不等式组，表示的平面区域，如图所示：

由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小，
解方程组得C(－2,3)，
∴umin＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，
解方程组得B(2,1)，
∴umax＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．

由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为z－1，随z变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z－1最小，即z最小，
解方程组得A(－2，－3)，
∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距 z－1最大，
即z最大，
∴zmax＝4＋2＝6.
∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.

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