高三理科数学071.doc

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期数 0601 SXG3 071
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇五十四 高三理科数学总复习三十一
——算术平均数与几何平均数

【考试大纲的要求】
掌握两个（不扩展到三个）正数算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
【基础知识概要】
1． 算术平均数：如果那么叫做这两个数的算术平均数．
2． 几何平均数：如果那么叫做这两个数的几何平均数．
3． 定理：如果那么（当且仅当时取等号）
4． 推论：如果那么（当且仅当时取等号）
5．利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应注意以下两点：（1）函数式中，各项必须都是正数．（2）函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值．
【典型例题解析】
例1 已知，则的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
解：易知，即所以，故Ｃ正确．
　　评析：重要不等式及推论和一些变形的不等式如有其广泛的应用，　　　　应注意推导和掌握．本题也可以用特殊值求解．
例2 (1)若a、b、c为正数，求证：．
(2)若，求证．
（1）分析：先重新组合，后利用基本不等式证明．
证明：∵a、b、c为正数，∴．
同理可证，．
三个不等式相加即得．
评析：三项重新组合成三组后利用基本不等式，是利用基本不等式证明不等式的一种常　　　　　　　用技巧．若加条件a、b、c不全相等，则等号不成立．
（2）分析：由不等式的两边的结构特点，我们联想到不等式及变形不等式，故可用它们进行证明．
证明：∵，∴
　　　同理，．
　　三式相加得．
评析：证明不等式时应根据不等式两边结构特点，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在证轮换对称不等式具有一定的普遍性．
例3 (1)已知，求函数的最大值；
　　(2)已知正数满足，求的最小值．
(1)分析：∵ ，但不是常数，∴对要进行拆（添）项“配凑”．
解：∵，∴，∴．
当且仅当时，上式等号成立．
故当时，．
(2)分析：注意“1”代换与使用，但应用均值不等式时注意等号成立的条件．
解：∵，且，
　　∴．
　　当且仅当时，等号成立．
　　故当时，．

例4某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？
解：设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，则=800.
蔬菜的种植面积
所以
当
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．设a、b是不相等的正数，则（ ）
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
2．已知a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a＞b＞＞ B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b
3．已知0＜a＜b＜1，，则P、Q、M三个数的大小关系是（ ）
A．P＞Q＞M B．Q＞M＞P
C．Q＞P＞M D．M＞Q＞P
二、填空题
4．若a、b是两个不同的正数，且, 则ab与a2b2的大小关系是____
5．若a、b是正数，且a+b=1，则ab的最大值是______________

同步检测[※※级]
一、选择题
1．设x、y、z都是正数，且x+ y + z = 6, 则lgx + lg y +lgz的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知x＞1，y＞1，且lgx+lg y = 4，则lgxlg y的最大值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
3．若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2+b2+c22 B．(a+b+c)23
C． D．a+b+c
二、填空题
4．若x, y是正数，且的最大值为_______________
5．已知x, y是正数，x+2y =1，则的最大值为___________．
三、解答题
6．已知x，y是正数，且2x+3y =6，求log2x+log2y的最大值．
7．已知a＞b＞0，求的最小值．
8. 一段为400m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大值是多少？

参考答案
同步落实[※级]
一、1．B 2．D 3．C
二、4．aba2b2 5．
同步检测[※※级]
一、1．B 2．A 3．B
二、4． 5．3+
三、6．解：∵2x+3y =6，∴,
∴xy ，当且仅当2x=3y，即x=, y =1时等号成立．
∴,
∴的最大值为.
7．解：
,
当且仅当，即a=b=2时等号成立．
∴当a=b=2时，有最小值3．
8. 解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，由已知得x+2y = 40.
又设菜园的面积为Sm2，则
.

∴当长为20m，宽为10m时，菜园的面积最大，最大面积为200m2．