第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛__初二__第2试.doc

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初二 第2试
2011年4月10日 上午9：00至11：00
一、选择题(每小题4分，共40分.)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.
1. Given A：B=：，A=，C=. The size relationship between B and C is
(A) B>C (B) B=C (C) B<C (D) uncertain
2. 已知a2-a=7，则代数式．¸的值是
(A) 3 (B) (C) 4 (D) 5
3. 一个凸四边形的四个内角可以
(A) 都是锐角 (B) 都是直角 (C) 都是钝角 (D) 有三个是直角，另一个是锐角或钝角 .
4. 如果直线y=2x+m与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则m的值是
(A) ±3 (B) 3 (C) ±4 (D) 4
5. 若n+1=20102+20112，则= (A) 2011 (B) 2010 (C) 4022 (D) 4021
6. 有四个命题:
j 若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等，则这两个等腰三角形全等
k 有一条边相等的两个等腰直角三角形全等
A
B
C
D
E
图1
l 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
m 两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等
其中，正确的命题有
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个
7. 如图1，Rt△ABC两直角边上的中线分别为AE和BD，
figure 2
A
B
C
D
E
F
P
则AE2+BD2与AB2的比值为
(A) (B) 1 (C) (D)
8. As shown in figure 2, ABCD is a rectangle and AD=12, AB=5，
P is any point on AD and PE^BD at point E, PF^AC at point F.
Then PE+PF has a total length of
(A) (B) (C) 5 (D)
A
B
C
D
E
F
图3
O
y
x
9. 如图3，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，C(2,1)，D(1,1).
反比例函数y=的图像与边BC交于点E，与边CD交于点F.已知
BE：CE=3：1，则DF：FC等于
(A) 4：1 (B) 3：1 (C) 2：1 (D) 1：1
a
d
e
c
b
图4
10. 如图4，a，b，c，d，e分别代表1，2，3，4，5中的一个数.
若b+a+c及d+a+e除以3都余1，则不同的填数方法有
(A) 2种 (B) 4种 (C) 8种 (D) 16种 .
二、填空题 (每小题4分，共40分)
学生
投进球数
没投进球数
投球次数
甲
10
5
15
乙
a
b
18

11. 右表为甲、乙两人比赛投篮球的记录，
以命中率(投进球数与投球次数的比值)
来比较投球成绩的好坏，若他们的成绩
一样好.现有以下关系式：
j a-b=5； k a+b=18； l a：b=2：1； m a：18=2：3；
其中正确的是 (只填序号).
12. 已知方程组的解为，又知点A(m,n)在反比例函数y=的图像上，则k的值
是 .
13. 等腰三角形的两个内角的度数之比为a：b (a<b)，若这个三角形是钝角三角形，则的取值
范围是 .
1
y
O
x
2
1
-2
图5
14. 定义f (x)= (x¹1)，那么= .
15. 函数y=ax与函数y=x+b的图像如图5所示，则关于x，y的
方程组的解是 .
16. 若a，b是自然数，且a>b，2011=a(a-1)+b.那么a= ；b= .
17. 一个骰子，六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6.两次掷这个骰子，朝上一面的数依
A
B
C
D
2
P
图6
30°
次记为m，n.则关于x，y的方程组，有解的概率为 .
18. 如图6边长为2+的正方形ABCD内有一点P，且ÐPAB=30°，PA=2，
在正方形ABCD的边上有一点Q，且△PAQ为等腰三角形，则符合条件
的点Q有 个.
19. 已知a，b，c为实数，并且对于任意实数x，恒有 | x+a |+| 2x+b |=| 3x+c |，
则a：b：c= .
20. 一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000千米后报废；若安装在后轮，则行驶3000
千米后报废.现有一辆新自行车，在行驶一定路程后，交换前后两轮的轮胎，再继续行驶，
使得两个轮胎同时报废，那么该车最多行驶 千米.
三、解答题 每题都要写出推算过程.
21. (本题满分10分)
平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为(-1，-1)，(1，-1)，(1，1)，(-1，1).设正方形ABCD在y=| x-a |+a的图像以上部份的面积为S，试求S关于a的函数关系式，并写出S的最大值.

22. (本题满分15分)
若直线l：y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B.坐标原点O关于直线l的对称点O’在反比例函数y=的图像上.
(1) 求反比例函数y=的解析式；
(2) 将直线l绕点A逆时针旋转角q (0°<q <45°)，得到直线l’，l’交y轴于点P，过点P作x轴的并行线，与上述反比例函数y=的图像交于点Q，当四边形APQO’的面积为9-时，求q 的值.
23. (本题满分15分)
给定m (m³3)个数字组成的一列数a1，a2，…，am，其中每一个数ai (i=1，2，…，m)只能是1或0.在这一列数中，如果存在连续的k个数和另一组连续的k个数恰好按次序对应相等，则称这一列数是“k阶可重复的”.例如由7个数组成一列数：0，1，1，0，1，1，0，因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以称这列数为“4阶可重复的”.
(1) 分别判断下面的两列数是否是“5阶可重复的”？如果是，请写出重复的这5个数；
j 0，0，0，1，1，0，0，1，1，0； k 1，1，1，1，1，0，1，1，1，1.
(2) 如果一列数a1，a2，…，am一定是“3阶可重复的”，求m的最小值.
(3) 假设一列数不是“5阶可重复的”且第4个数是1，但若在这列数最后一个数再添加一个0或
1，均可使新的一列数是“5阶可重复的”，那么原来的数列中的最后一个数是什么？说明理
由.

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初二 第2试简答