杨浦区数学卷定稿（理、文）：2013.1.5,.doc

杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学试卷（文、理科） 2013.1.
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．
2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 若函数的反函数为，则　　　　　．
2．若复数 (为虚数单位) ，则 .
3．抛物线的焦点到准线的距离为 .
4. 若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是 ．
5．若直线:，则该直线的倾斜角是 .
6. 若的二项展开式中，的系数为，则实数 ．
7. 若圆椎的母线,母线与旋转轴的夹角,则该圆椎的侧面积为
.
8. 设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前 项的和______________．
9. （理）下列函数：① , ②, ③ ， ④
⑤中,既是偶函数，又是在区间上单调递减函数为　　　　　（写出符合要求的所有函数的序号）.
（文）若直线过点，且与圆相切，则直线的方程为　　　　　．
10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为和，
(文) 则且的概率是____ ___ .
(理) 则函数图像与轴无公共点的概率是____ ___ .
11.若函数 ()的图像过定点,点在曲线
上运动,则线段中点轨迹方程是 ．
12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，
其中米，米. 为了合理利用这块钢板,将在五边
形内截取一个矩形块，使点在边上.
则矩形面积的最大值为____ 平方米 .
13．(文)设的内角的对边长分别为，且 ，则的值是___________．
(理)在中，若，，，
则的面积为___________．
14．(文) 已知函数 若函数有3个零点，
则实数的取值范围是___________．
(理)在平面直角坐标系中，直线与圆相切，其中
，．若函数的零点，,
则________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15． “”是“函数在区间内单调递增”的………（ ）
充分非必要条件． 　 必要非充分条件．
充要条件． 　 　既非充分又非必要条件．
16．若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，
()，则复数在复平面上对应的点位于 ………（ ）
第一象限． 　第二象限．　 第三象限． 第四象限．
17．若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，
∠=，则到轴的距离为 ………（ ）
． ． ． ．
18. 已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）. 对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①， ②， ③， ④，则为“保比差数列函数”的所有序号为 ………（ ）
①②． ③④． ①②④． ②③④ ．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．
P
C
D
E
如图，在三棱锥中，平面，，，,
分别是的中点，
（1）求三棱锥的体积；
（2）若异面直线与所成角的大小为，求的值.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．
(文) 已知函数，
（1）若，求的值；
（2）设，求在区间上的最大值和最小值.
（理）已知 ，
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若，求的最大值及取得最大值时对应的的取值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．
（文）已知椭圆的两个焦点分别是、，且焦距是椭圆上一点到两焦点距离的等差中项.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点
，求的取值范围.

（理）椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点.
若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.
若直线的斜率之和为0，求证：为定值.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知函数的值域为集合，
（1）若全集，求；
（2）对任意，不等式恒成立，求实数的范围；
（3）设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为、，求的值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
(文) 设数列满足且（）,前项和为．已知点,
,都在直线上(其中常数且,， ),又．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，求实数，的值；
（3）如果存在、，使得点和点都在直线上．问
是否存在正整数，当时，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由．
（理）对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件：
其中.
（1）若，求数列；
（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合．
（3）若是有理数，设 （ 是整数，是正整数，、互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论．
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(理科共6页)