九类常见递推数列求通项公式方法.doc

龍嘯天下映驕陽
(第二个问题回答“无”)
递推数列通项求解方法举隅
类型一：（）
思路1（递推法）：
………。
思路2（构造法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。
例1 已知数列满足且，求数列的通项公式。
解：方法1（递推法）：………。
方法2（构造法）：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。
类型二：
思路1（递推法）：…。
思路2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，即。
例2 已知，，求。
解：方法1（递推法）：
………。
方法2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，。
类型三：
思路1（递推法）：……。
思路2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠乘并整理得…，即…。
例3 已知，，求。
解：方法1（递推法）：…
。
方法2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、、，将各式叠乘并整理得…，即…。
类型四：
思路（特征根法）：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时， (、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程有两个不等实根时、时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。
例4 已知、,,求。
解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即
，解得，即。
类型五： （）
思路（构造法）：，设，则，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。
例5 已知，，求。
解：设，则，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。
类型六： （且）
思路（转化法）：，递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。
例6 已知，，求。
解：，式子两边同时除以得，令，则，依此类推有、、…、，各式叠加得，即
。
类型七： （）
思路（转化法）：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。
例7 已知，，求。
解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，因而得。
类型八：（）
思路（转化法）：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。
例8 已知，，求。
解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。
类型九： （、）
思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设（为待定系数，可利用、求得）；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。
例9 已知， （），求。
解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设，由得则，，即，从而，。
寒假专题——常见递推数列通项公式的求法

重、难点：
1. 重点：
递推关系的几种形式。
2. 难点：
灵活应用求通项公式的方法解题。

【典型例题】
[例1] 型。
（1）时，是等差数列，
（2）时，设 ∴
比较系数： ∴
∴ 是等比数列，公比为，首项为
∴ ∴
[例2] 型。
（1）时，，若可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知满足，求的通项公式。
解：
∵
∴
……

对这（）个式子求和得： ∴
（2）时，当则可设
∴
∴ 解得：，
∴ 是以为首项，为公比的等比数列
∴
∴ 将A、B代入即可
（3）（0，1）
等式两边同时除以得
令 则 ∴ 可归为型
[例3] 型。
（1）若是常数时，可归为等比数列。
（2）若可求积，可用累积约项的方法化简求通项。
例：已知：，（）求数列的通项。
解：
∴
[例4] 型。
考虑函数倒数关系有 ∴
令 则可归为型。
练习：
1. 已知满足，求通项公式。
解：
设 ∴
∴ 是以4为首项，2为公比为等比数列
∴ ∴
2. 已知的首项，（）求通项公式。
解：

……

∴
3. 已知中，且求数列通项公式。
解：

∴ ∴
4. 数列中，，，求的通项。
解：
∴
设 ∴ ∴
∴

……

∴ ∴
5. 已知：，时，，求的通项公式。
解：
设

∴ 解得： ∴
∴ 是以3为首项，为公比的等比数列
∴ ∴

【模拟试题】
1. 已知中，，，求。

2. 已知中，，（）求。

3. 已知中，，（）求。

4. 已知中，，（）求。

5. 已知中，，其前项和与满足（）
（1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式

6. 已知在正整数数列中，前项和满足
（1）求证：是等差数列 （2）若求的前n项和的最小值
1. 解：
由，得
∴
……

∴ ∴
2. 解：
由得：
∴ 即是等比数列
∴
3. 解：
由得∴ 成等差数列， ∴
4. 解：
∴ （）
∴ （）设
即
∴ 是等差数列 ∴
5. 解：
（1） ∴
∴ 是首项为1，公差为2的等差数列
∴
（2） ∴
又 ∵ ∴
6. 解：
（1） ∴
时，
整理得：
∵ 是正整数数列 ∴ ∴
∴ 是首项为2，公差为4的等差数列 ∴
（2）
∴ 为等差数列 ∴
∴ 当时，的最小值为
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