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第十二讲 等差数列
教学目标
在今天这节课中，我们来学习等差数列在实际解题过程中的综合运用.这节课主要以等差数列的综合运用为主，但考虑到许多学生没有系统接触过“等差数列”的知识，建议教师在本节课系统讲解一下.
知识点：1、等差数列在计算题中的综合运用.
2、等差数列在数表中的综合运用.
想 挑 战 吗 ？
育才小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖，比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人……第十五名并列15人，你能快速计算出得奖的一共有多少人吗？
分析：通过审题可知，各个名次获奖的人数正好构成 一个等差数列：1，2，3，…，15，根据求和公式，获奖总人数为：(1+15)×15÷2=120(人).
你还记得吗
[复习一]你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？快快举手，多多赢得小印章！
（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：
定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.
譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列
（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a1表示；
末项：一个数列的最后一项，通常用an表示，它也可表示数列的第n项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；
项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示；
和 ：一个数列的前n项的和，常用Sn来表示 .
（3） 三个重要的公式：
① 通项公式：递增数列：末项=首项＋(项数-1)×公差，
递减数列：末项=首项-(项数-1)×公差，
回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：
② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1
由通项公式可以得到： （）；（）.
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！
譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法.
③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2，
对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：
（思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100
＝101×50=5050
（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：
即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050
（4）中项定理
对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.
譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=1800 ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；
（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .
[复习二]（1）5、8、11、14、17、20、…… ，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？
（2）如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项.
（3）一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？
分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第n项=首项+公差×（n-1），所以，第99项=5+3×（201-1）=605，对于数列5，8，11，……，65，一共有：n=（65-5）÷3+1=21，即65是第21项.
（2）要求第16项，必须知道首项和公差.第10项－第4项=（10－4）×公差 ，所以 ，公差= 6 ；
第4项=首项+3×公差 ，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；第16项=首项+15×公差=93 .
（3）根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8×7=56.
专题精讲
（一） 等差数列在计算中的综合运用
【例1】 （1）(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)
（2）1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；
（3）1000+999-998+997+996-995+…+106+105-104+103+102-101.
（4）72+793+7994+79995+799996
分析：（1）同学们可能已经发现和式2+4+…+98+100，l+3+5+…+97+99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法.这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好想法：运用加减运算性质先做减法：2-l，4-3，6-5，…，100-99，它们的差都等于1，然后，计算等于1的差数有多少个.由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得50个差数1，从而，原式=(2-1)+(4-3)+…+(98-97)+(100-99)=50.
（2）可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+10+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：原式=(1+70)×24÷2+(3+69)×23÷2=1680.
（3）本题也可以按照上题的方法做，但我们还有更简便的办法，把式子中的减法都计算出来可以得到下式：1000+1+997+1+…+106+1+103+1．这是1000+997+…+106+103和1+1+…+1+1的组合，分别计算结果即可：原式=(1000+103)×300÷2+1×300=165750 .
（4）原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)=888880-(8+7+6+5+4)=888850
[评注]以上都是些常见的数列求和问题，以后我们遇到的题都是和这些题的类型相似的，我们应该熟练掌握他们的计算方法．
【例2】 在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
分析：我们先计算l～100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．1+2+…+100=(1+100)×100÷2=5050，9+18+27+…+99=(9+99)×11÷2=594，所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1～100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了
[前铺] 在1～100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少
分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1～100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是9=9×1，最大的数是99=9×11，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：11-1+1=11项，所以，所求数的和是：9+18+27+……+99=（9+99）×11÷2=594.
[拓展]从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有多少个？
分析：（1）因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=(993—401)÷8+1=75．
【例3】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?
分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8，…
偶数项的排列规律是：3、6、9、12，…
先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数，
第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷2=1002个数 ，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004 .
[前铺一]已知数列2，4，6，8，……，问这个数列中第2000个数是多少？
分析：根据等差数列通项公式：，第2000个数为：2+（2000-1）×2=4000.（教师在这个数列中插入1，3，5，7，…，变为前铺二）
[前铺二]已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7……，问2008是这个数列的第多少项？
分析：偶数项的排列规律是：1、3、5、7，…
奇数项的排列规律是：2、4、6、8，…
可以看出两个数列都是等差数列.由于2008是偶数，所以在奇数项数列中，它的项数是：（2008-2）÷2+1=1004，所以在整个数列中，2008的项数是1004×2-1=2007，所以2008是这个数列的第2007项.
[拓展]求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项.
分析：前100项的和=（3＋150）×50÷2＋（2+100）×50÷2=255×25=6375 ，
100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项 ；
111是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项 ；
同样，120是原数列的第80项和第119项 .
【例4】 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）.
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.
综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.
【例5】 从1到50这50个连续自然数中，取两不同的数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？
分析：设满足条件的两数为a、b，且a＜b，则
若a=1，则b=50，共1种.
若a=2，则b=49，50，共2种.
若a=3，则b=48，49，50，共3种.
…
若a=25，则b=26，27，…50，共25种.
若a=26，则b=27，28，…50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.
若a=27，则b=28，29，…50，共23种.
…
若a=49，则b=50，共1种.
所以，所有不同的取法种数为1+2+3+…+25+24+23+22+…+l=2×（1+2+3+…+24）+25=625.
【例6】 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色.如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？
分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中a1＝1，d＝2，an＝15，所以n＝（15－1）÷2＋1＝8，
所以，白色方格数是：1＋2＋3＋…＋8＝（1＋8）×8÷2＝36，
黑色方格数是：1＋2＋3＋…＋7＝（1＋7）×7÷2＝28.
[巩固]用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？
分析：从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10，9，8，…，1．
所以最底层立方体数目为：(10+1)×10÷2=55．要学会正确的读图．
【例7】 在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍.如果最大的三角形共有8层，问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
层
1
2
3
4
5
6
7
8
小三角形数
1
3
5
7
9
11
13
15
火柴数
3
6
9
12
15
18
21
24
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.
（1）最大三角形面积为：（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（平方厘米）.
（2）火柴棍的数目为：3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.
[前铺]一只小虫沿笔直的树干跳着上行，每跳一次升高4厘米.它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫的第一落脚点，那么它的第100个落脚点离地面多少厘米？
分析：由下往上依次用①、②、③、…表示小虫的落脚点，见下表
首项（即起始高度）为10，公差是4.到第100落脚点时，已跳了99次，因此，第100落脚点的高度为：10＋4×（100-1）＝406（厘米）.
[数学小笑话]一个财主请来家庭教师给儿子教写字，第一天老师教了一个“一”字，第二天教了个“二”字，第三天教了个“三”字，这时那位儿子要求父亲把教师辞退，说他已经无师自通了.财主很高兴，让儿子给一位姓万的先生写信，儿子自信满满的拿着一摞纸到了书房，写了一上午都没有出来，财主等不及就到了书房，看见儿子正卖力的在纸上画线，地上已经有好多已经画满线的纸，财主很生气，说道：“我让你写信，你怎么偷懒啊？”儿子很委屈，回答道：“我在写信啊，谁让这个人姓万呢，我写了一上午，还差三百横呢！”原来儿子以为“万”字就是画一万横，结果一上午连一个姓也没有写出来.
（二） 等差数列在数表中的综合运用
【例8】 （希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号.
序号 等式
1 1 ＋ 2 ＋ 3= 6
3 3 ＋ 5 ＋ 7= 15
5 5 ＋ 8 ＋ 11= 24
7 7 ＋ 11 ＋ 15= 33
∶ ∶ ∶ ∶ ∶
（ ） （ ）＋（ ）＋7983=（ ）
分析：可以这样想：（1）表中各竖行排列的规律是什么？（等差数列）
（2）表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？
应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数.
第一个括号：（7983-3）÷4＋1=1996 ，1＋（1996-1）×2=3991 ；第二个括号：1＋（1996-1）×2=3991 ；
第三个括号：根据等差数列通项公式：2＋（1996-1）×3=5987 或 3991+1996=5987 ；第四个括号：根据等差数列通项公式：6＋（1996-1）×9=17961 或 5987×3=17961 .
【例9】 自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？
分析：从两个方面考虑：
（1）先看组成这张表的数：1，3，5，7，9，….这是一个公差为2的等差数列.第60行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解.而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数.
（2）从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7，….第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数.59行所排数的个数就是1，3，5，7，…，中的第59项.
所以，第59行所用数的个数为：1＋2×（59-1）＝117（个），从第一行排到第59行所用数的总个数为：（1＋117）×59÷2=3481（个），到第60行第5数共用去数的个数为： 3481＋5＝3486（个），第60行第5个数是数列1，3，5，7，…中第3486项，为：1＋2×（3486-1）＝6971
[巩固]观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是，那么，第20行最左边的数是几？第20行所有数字的和是多少？
分析:通过观察可以看出，每一行最左边的数等于上一行最右边的数加1，所以第20行最左边的数等于192＋1=362；每一行的数字个数为：1，3，5，7，9，……，可以看出成等差数列，所以第20行的数字个数为：1+（20-1）×2=39，每一行的数字都成公差为1的等差数列，所以第20行所有数字的和是：
（362＋400）×39÷2=14559 .
【例10】 将自然数如下排列，
在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？
分析：不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如下图），
三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：
1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2
用试值的方法，可以求出n=63.
又因为1+2+…+62=1953，即第62行中最大的数为1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.把三角阵与左图作比较，可以发现：
①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.
②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.
由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.
专题展望
本讲主要讲了等差数列在实际解题过程中的综合运用，在以后的学习中我们还会学习到关于等差数列的更多知识，希望同学们再接再厉，加油！
练习十二
1. （例1）巧算: 61+692+6993+69994+699995+6999996
分析:原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)
=7777770-(9+8+7+6+5+4)
=7777731
2. （例2）100到200之间不能被3整除的数之和是多少？
分析:考虑能被3整除的各数之和102＋105＋…＋198 ;
然后（100＋101＋102＋…＋200）—（102＋105＋…＋198）＝10200.
3. （例5）明明在玩棋子，他想把35枚棋子放到8个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意2个盒子里的棋子数目都不一样，明明能办到吗?如果能，他该怎么放?如果不能，说说为什么?
分析：因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有l枚棋子.同时，任意2个盒中的棋子数不一样，所以8个盒中共有的棋子数至少为：1+2+3+4+5+6+7+8=36(枚).题目中只给了35枚棋子，所以，明明不能办到.
4. （例7）某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴会的每一个人，和其他参加宴会的每一个人都只握一次手.参加宴会的一共有多少人？
分析:经试验：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，所以一共有10人参加宴会.
5. （例9）把自然数依次排成“三角形阵”，如图9－3.第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…求：
（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？
（2）207排在第几排第几个数？
（3）第13排各数的和是多少？
分析：（1）122，144
（2）第十五排的第11个数
（3）3925.
数学故事
从前有一个非常聪明的数学家，他能用数学知识为人们解决许多常见的生活问题，受到人们的爱戴．可是国王嫉贤妒能，总想找借口把年轻的数学家除掉，但一直没有如愿．
那时国王正在修一个豪华的宫殿，将要落成的一天，国王看着漂亮的宫殿忽然想到一个为难数学家的好办法，于是派人把数学家找来，说有难事请他帮忙．
数学家来到皇宫拜见国王，国王见到数学家心中就有气，他脸露一丝坏笑，说：“听说你很有能耐，什么难题都难不倒你，并以此得到了我臣民的拥护，能有你这样的臣民我应该很高兴，但我怕你是欺世盗名之徒，骗取我臣民的忠心，所以我要考考你，假如你能过关，我就相信你，并保证永远不会再为难你，否则，就将你永远赶出我的国家!”数学家被迫答应了．
国王的问题是：新建的皇宫给国王的每一位妃子都建了一个寝宫，国王为了区分不同的妃子在哪个寝宫，决定在每个寝宫门口挂上数目不同的中国结．办法是在第一个门口中间挂上一个，在第二个门口除了中间的一个再分别在两侧各挂上一个，在第三个门口除了第二个门口的三个再在两侧各挂上一个……如此类推，国王共有50个妃子，问一共需要多少个中国结?
国王不许数学家到宫门口去试，只许他用脑子想，要是一小时内没有结果就算失败．国王出完题之后命人看住数学家，不让他出去，自己想到后宫去休息一会儿．可还没等到他跨出门口就被数学家叫住了，数学家已经得出了答案：2500个中国结．国王半信半疑，急忙命人去试一下．试了半天，终于试完了，果然是2500个!
国王被迫让数学家离开了，可是事后百思不得其解，数学家是怎样知道答案的呢?但碍于面子他宁死不向数学家请教，只是终日冥思苦想，再也没有心思害人了．但他最终也没想明白是怎么回事，终于积劳成疾，命不久矣．临死前他终于忍不住命人把数学家请来，客气地说：“我以前终日与你为难，最终还是难不住你，这些日子我一直对你算出中国结数目的事不解，不知道你如何能那么快得出答案，你能告诉我吗?”
见国王时日无多，数学家恭敬地说：“是这样的，我把每个门口的中国结数目列在一起，想成一列数，它们相邻两个的差都是2，我称这样的数列为等差数列，第50个门口是99个，与第一个门口的一个合成100个，第49个门口是97个，与第二个门口的3个合成100个，……如此类推，一共可以合成25个100，合起来共是2500个中国结．”
国王听完满意地点了点头，传出命令：“封数学家为全国最聪明的人……”说完永远闭上了双眼．
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