第14讲函数概念与表示（学生）.doc

第14讲 函数概念与表示
一、要点精讲
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，定义域含三种：①自然型：②限制型： ③实际型：
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：4．区间 5．映射的概念
6．常用的函数表示法：（1）解析法：；（2）列表法：；（3）图象法：。
7．分段函数
8．复合函数：若y=f(u)，u=g(x),xÎ(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。

【课前练习】
1.【08江西卷文3】若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2.【08山东卷文5】设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.【08陕西卷理11】定义在上的函数满足（），，则等于（ ）A．2 B．3 C．6 D．9
4.【08安徽卷理13】函数的定义域为 ．

二、典例解析
题型1：函数概念
例1．（1）设函数
（2）请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （x）：
①图象关于y轴对称；②对定义域内任意不同两点, 都有
答： .
变式题：（2007山东 文2）设（ ）
A．0 　 B．1 C．2 D．3
例2．（2007安徽 文理15）函数对于任意实数满足条件，若则__ ________；
题型二：判断两个函数是否相同
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。

题型三：函数定义域问题
例4．求下述函数的定义域：
（1）； （2）

例5．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) ；(2)。

变式题：已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞ B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a≤
题型四：函数值域问题
例6．求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）。

题型五：函数解析式
例7．（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求。

题型六：函数的综合题
例8. 已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)
(3)若且，则有.
(I)求的值；
(II)求的最大值；

三、课外作业
1.【08湖北卷4】函数的定义域为
A. B. C. 　　D.
2.【08四川卷11】设定义在上的函数满足，若，则( )
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）
3.【08江西卷3】若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A． B． C． D．
4.【07重庆】若函数的定义域为R，则实数的取值范围 。
5.（1）设，其中a、b、c、d是常数。
如果求；
（2）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。