自考高数综合练习题.doc

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自考高数综合练习题
一、单项选择题1．下列集合运算结果为空集的是（）
A.{0,1,2,}∩{0,3,4} B.{1,2,3}∩{4,5,6} C.{0,2,3,5}∩{0,5,6} D.{1,2,3}∩{1,5,6}
2．若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)=()
A.3-sin2x B.3+sin2x C.3-cos2x D.3+cos2x
3．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(x+a)的定义域是（）
A.[0,a] B.[-a,0] C.[a,1+a] D.[-a,1-a]
4． ()

5．设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，下列函数中必为奇函数的是（）
A.y=|f(x)| B.y=-|f(x)| C.y=c D.y=xf(x2)
6．arcsinx+arccosx=()

（）

8． （）
A.∞ B. 1 C. 1/2 D. 0
9．若x→a时，有0≤f(x)≤g(x)，则  是f(x)在x→a过程中为无穷小量的（）
A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件
10．当n→∞时，与sin2 等价的无穷小量是（）

11．设f(x)=|x|，则 （）
A．-1 B．0 C．1 D．不存在
12．“当x →x0时，f(x)-A是一个无穷小量”是“函数f(x)在点x=x0处以A为极限”的（）
A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 C．充分必要条件 D．无关条件
13． （）
A．-1 B．0 C．1/2 D．∞
14．若 处的二阶导数的定义是（）
A． B．
C． D．
15．设收益函数R(x)=150x-0.01x2(元)，当产量x=100时其边际收益是（）
A．149元 B．148元 C．150元 D．148百元
16． ()
A．0 B．1 C．2 D．-2
17．设某商品在200元的价格水平下的需求价格弹性 η=-0.12，它说明价格在200元的基础上上调1%时，需求量将下降（）
A．0.12 B．0.12% C．1.2% D．12%
18． （）

19． ( )
A．递增 B．递减 C．不增不减 D．有增有减
20．设 ，则 ()

21． ( )
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．无关条件
22．下列函数对应的曲线在定义域上凹的是（）
A．y=e -x B．y=ln(1+x2) C．y=x2-x3 D．y=sinx
23．函数 y=x3 在闭区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，其中的ξ=（）

24．函数y=sin(x+π/2)在x∈[-π,π]上的极大值点x0=（）
A．π B．-π C．π/2 D．0
25．下列函数中，在区间[-1，1] 上满足罗尔定理条件的是（）

26． （）
A．sin(1-2x) B．-2cos(1-2x) C．sin(1-2x)+c D．-2cos(1-2x)+c
27．若 ，则 f(x)=（）

28． ()

29． （）
A．1 B．0 C．1/2 D．1/3
30． （）
A．∞ B．1 C．1/3 D．-1
31．点M1（1，-4，-1），M2（1，0，3），则M1M2的中点坐标是（）
A．（0，2，-2） B．（1，-2，1） C．（0，4，-4） D．（2，4，2）
32．设由方程 ez-xyz=0 确定的隐函数 z=z(x,y)，则 （）

33． （）

34．设积分区域D是由 （）
A．0 B．1/4 C．1/2 D．1
35．幂级数 的收敛半径是（）
A．2 B．1/3 C．1/2 D．3
36．在下列级数中，条件收敛的级数是（）

37．在下列函数中，能够是微分方程 的解的函数是（）
A．y=1 B．y=x C．y=sinx D．y=ex
38．微分方程 的一个特解是（）
A．y=x3+1 B．y=(x+2)3 C．y=(x+c)2 D．y=c(x+1)3
39．微分方程 的通解是y=（）

40． （）

二、计算题（每小题4分，共12分）

求k的值使 f (x) 在其定义域内连续。

三、计算题（每小题7分，共28分）

四、应用题（每小题8分，共16分）
1．某商品的边际成本函数为KM=125e0.5Q，且固定成本为150，求总成本函数。

2．设某工厂生产一种产品的固定成本为200（百元），每生产一个产品的商品，成本增加5（百元），且已知其需求函数为Q=100-2P，其中P为价格，Q为产量，又这种商品在市场上是畅销的。
（1）试分别列出商品的总成本函数C（P）和总收益函数R（P）
（2）求出使该商品的总利润最大的产量。
（3）求最大利润。

五、证明题（本题4分）

高等教育自学考试综合练习二
1．下列集合中为空集的是（）
A.{x|x<1,且x≥0} B.{x|x+1=0} C.{x|x2+1=0,x为实数} D.{x|x>0,且x<1}
2．与不等式|5-x -1|<1 等价的区间是（）

3．设f(x)=sinx , 则 () 
A.-1 B.1 C. –sin1 D.sin1
4．设 f(x-1)=x(x-1),则f(x)=()
A.(x+1)(x+2) B.x(x+1) C.x(x-1) D.(x-1)(x-2)
5．函数 是（）
A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既是偶函数又是奇函数
6． （）
A.3 B.1 C.∞ D.1/9
7． （）
A.1 B.1/2 C.0 D. ∞
8． （）
A.2 B.0 C.-1 D.-2
9． （）
A.e4 B.e3 C.e2 D.e
10．当x→0时，下列函数中，与x2相比为等价无穷小的是（）
A.x2+x B.x2+1 C.3x2+x3 D.x2+3x3
11．函数f(x)在区间[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上取得最大值和最小值的（）
A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件
12．设函数f(x)可微，则 （）

13．设曲线y=f(x)在某点的切线的点斜式方程为 ,则该切线斜率为
A.1/2 B.-1/4 C.2 D.4
14．设y=arcos(x2)则y’=()

15．若u，v都是x的二阶可导函数，则 (uv)″=()

16．若y=cosx，则y(n)=()

17．函数y=|x-1|+2的最小值点是x=()
A.0 B.1 C.2 D.-1
18．下列求极限问题中不能够使用洛比达法则的有（）

19．设函数f(x)在点x0可微，且f′(x0)≠0,则当|△x|很小时，f(x0+△x)≈()
A.f(x0) B.f′(x0)△x C. △y D.f(x0) +f′(x0)△x
20．设函数f(x)可积，则∫df(x)=()
A.f(x)+c B.f(x) C.f(x)dx+c D.f(x)dx
21．若f(x)的一个原函数是sinx，则∫f′(x)dx=()
A.sinx+c B.cosx+c C.-sinx+c D.-cosx+c
22．若 ()

23．∫xde-x=()
A.xe-x+c B.-xe-x+c C.xe-x+e-x+c D. xe-x-e-x+c
24． ()
A.0 B.1 C. 1/4 D.4
25． ()

26． ()
A. π/2 B. π C.2π D.∞
27．设 ()
A.-2 B.-1 C.1 D.2
28．
29． ()
A.等比级数 B.等差级数 C.调和级数 D.p级数
30． （）
A.一定发散 B.可能收敛，也可能发散
C.a>0时收敛，a<0时发散 D.|a|<1时收敛，|a|>1时发散
31． （）
A.1 B.2 C.1/2 D. ∞
32．在空间直角坐标系中，点M1（1，0，2）和点M2（0，3，-2）之间的距离d=()

33． ()
A. 4/3 B.-4/3 C.2/3 D.0
34． ()
35． () A.6 B.3 C.-2 D.2
36．fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0为f(x,y)在点(x0,y0)有极值的（）
A.充要条件 B.必要条件 C.充分条件 D.既不是充分条件，又不是必要条件
37．设z=z(x,y)是由方程 ez-xyz=0确定的函数，则 （）

38．设D是区域，|x|≤1，|y|≤2 , 则 （）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
39．设D是圆域x2+y2≤4,则 （）

40．在下列函数中，能够是微分方程y″+y=0的解的函数是（）
A.y=1 B.y=x C. y=sinx D. y=ex
二、计算题（一）（每小题4分，共12分）

3．求微分方程xy′+y-ex=0的通解.

三、计算题（二）（每小题7分，共28分）
1．讨论曲线y=x4-2x3+1的凹向性并求拐点。

2．求由方程2xz-2xyz+ln(xyz)=0所确定的隐函数z=z(x,y)在点(1,1)处的全微分。

3．求幂级数

四、应用题（每小题8分，共16分）
1．某工厂生产的某种产品，固定成本为400（万元），多生产一个单位产品，成本增加10万元，设产品产销平衡且产品的需求函数为x=1000-50p(x为产品产量，p为价格)，问该厂生产多少单位产品时，所获利润最大？最大利润是多少？

2．求由曲线 和直线y=4x,x=2,y=0所围成的平面图形面积以及该平面图形绕x轴旋转所成旋转的体积。

五、证明题（共4分）

高等教育自学考试综合练习三
一、单项选择题
1.下列集合中为空集的是( )
A. B. C. D.
2.下列函数中满足关系式 的函数 是( )
A. B. C. D.
3.函数 的定义域是( )
A. B. C. 且 D. 且
4.已知函数 是线性函数,且 则 ( )
A. B. C. D.
5. 的定义是:对于给定的任意小的正数 ,总存在一个正数 ，使得当满足下列条件中的( )时,恒有 成立。
A. B. C. D.
6. ( )
A.2 B.－2 C. D.0
7.函数 在 点连续是 在点 点有极限的( )
A.充要条件 B.充分条件 C.必要条件 D.既非充分亦非必要条件
8.下列数列中,当 时没有极限的是( )
A. B. C. D.
9.下列变量中，当 时与 等价的无穷小量是（ ）
A. B. C. D.
10.某物体按规律 作直线运动,当其速度为零的时刻是( )
A. B. C. D.
11.曲线 上点M处的切线斜率是15,则点M的坐标是( )
A.(3,15) B.(3,1) C.(－3,15) D.(－3,1)
12.设产品的利润函数是 则生产 个单位产品的边际利润的( )
A. B. C. D.
13.过点(1,3)且切线斜率为 的曲线方程 应满足关系( )
A. B. C. 且 D. 且
14.设需求函数为 ,则需求量 对价格 的弹性是（ ）
A. B. C. D.
15.函数 在点 的导数是( )
A. B. C.0 D.不存在
16.设函数 则其导函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
17.将半径为R的球加热,如果球的半径伸长△R,则球的体积增加量 ( )
A. B. C. D.
18.函数 在区间(－1,2)内是( )
A.单调增加 B.单调减少 C.不增不减 D.有增有减
19.利用微分近似公式计算,可得 ( )
A.－0.1 B.0.1 C.0.9 D.1.1
20.函数 在区间[-1,2]上满足罗尔定理的条件,则定理中的值 =( )
A.-1 B.2 C. D.
21. ( )
A.0 B.1 C. D.不存在
22.函数 在区间(-1,1)上的最大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.不存在
23.在下列符号中选用一个连接表达式 ,使之成立( )
A.≥ B.≤ C.> D.<
24.幂函数的原函数一定是( )
A.幂函数 B.对数函数 C.多项式 D.幂函数或对数函数
25. ( )
A. B. C. D.
26. ( )
A. B. C. D.
27.已知 ，且 则常数 ( )
A. B. C.2 D.
28.广义积分 ( )
A. B. C. D.不存在
29.设 是 的一个原函数,则 ( )
A. B. C. D.
30.已知 则广义积分( )收敛。
A. B. C. D.
31.在下面级数中,发散的是( )
A. B. C. D.
32.在下面级数中,收敛的是( )
A. B. C. D.
33.若级数 收敛,则下面结论中能够成立的是( )
A. 必发散 B. 必收敛 C. 收敛 D. 收敛
34.设 ,则 ( )
A.0 B.1 C. D.
35.设二元函数 在 有极大值且两个一阶偏导数都存在,则必有( )
A. B.
C. D.
36.函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
37.设 则 ( )
A. B.
C. D.
38.设 ,则 ( )
A.1 B.0 C. D.
39.设D是区域 则 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
40.微分方程 的通解是( )
A. B. C. D.
二、计算题（一）
41.求极限 .

42.设方程为 求 及 .  

43.求微分方程 的通解.  

三、计算题（二）
44.已知 求 .  

45.求 在[0.1]上的最小值和最大值.

46.展开函数 为 的幂级数.

47.计算二重积分 其中D是由抛物线 和直线 围成的平面区域.

四、应用题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)
48.已知汽车行驶时每小时的耗油费用 (元)与行驶速度 (公里/小时)的关系为 ,若汽车行驶时除耗油费用外的其他费用为每小时100元,求最经济的行驶速度.

49.求由曲线 和 围成的平面图形绕 轴旋转的旋转体体积.

五、证明题
50.证明等式:

高等教育自学考试综合练习四
一、单项选择题
1.函数 y = +ln(x－1)的定义域是( )
A. (0，5］ B. (1，5］ C. (1，5) D. (1，+∞)
2. 等于( )
A. 0 B. 1 C. D. 2
3.二元函数f(x,y)=ln(x－y)的定义域为( )
A. x－y>0 B. x>0, y>0 C. x<0, y<0 D. x>0, y>0及x<0, y<0
4.函数y=2｜x｜－1在x=0处( )
A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导
5.设函数f(x)=e1－2x，则f(x)在x=0处的导数f′(0)等于( )
A. 0 B. e C. –e D. －2e
6.函数y=x－arctanx在［－1，1］上( )
A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值
7.设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，在开区间(0，1)内可导，且f′(x)>0，则( )
A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)<f(0)
8.以下式子中正确的是( )
A. dsinx=－cosx B. dsinx=－cosxdx C. dcosx=－sinxdx D. dcosx=－sinx
9.下列级数中，条件收敛的级数是( )
A. B.
C. D.
10.方程y′—y=0的通解为( )
A. y=cex B. y=ce－x C. y=csinx D. y=c1ex+c2e－x
11.设函数f(x)= 在点x=0处连续，则k等于( )
A. 0 B. C. D. 2
12.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e－xf(e－x)dx等于( )
A. F(e－x)+c B. －F(e－x)+c C. F(ex)+c D. －F(ex)+c
13.下列函数中在区间［－1，1］上满足罗尔中值定理条件的是( )
A. y= B. y=|x| C. y=1－x2 D. y=x－1
14.设 =a2x－a2,f(x)为连续函数，则f(x)等于( )
A. 2a2x B. a2xlna C. 2xa2x－1 D. 2a2xlna
15.下列式子中正确的是( )
A. B. C. D.以上都不对
16.下列广义积分收敛的是( )
A. B. C. D.
17.设f(x)= ，g(x)=x2，当x→0时( )
A. f(x)是g(x)的高阶无穷小 B. f(x)是g(x)的低阶无穷小
C. f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小 D. f(x)与g(x)是等价无穷小
18.交换二次积分 的积分次序，它等于( )
A. B. C. D.
19.若级数 收敛，记Sn= ，则( )
A. B. 存在 C. 可能不存在 D. ｛Sn｝为单调数列
20.对于微分方程y″+3y′+2y=e－x，利用待定系数法求其特解y*时，下面特解设法正确的是( )
A. y*=ae－x B. y*=(ax+b)e－x C. y*=axe－x D. y*=ax2e－x  
二、填空题(每小题2分，共20分)
1.       ______。
2.       若函数f(x)= 在x=0处连续，则k=______。
3.设f(0)=0，且极限 存在，则 =______。
4.设y= ，则 =______。
5.如果函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使
f′(ξ)=______。
6. ______。
7.定积分 ______。
8.广义积分 =______。
9.幂级数 的收敛半径R=________。
10.微分方程y″+2y′=0的通解为______。

三、计算题(每小题5分，共30分)
1.求

2.设y= ,求y′。  

3.计算 。  

4.求解微分方程的初值问题 。  

5.设z=f(x,y)是由方程ez－z+xy3=0确定的隐函数，求z的全微分dz。  

6.展开 为x的幂级数，并证明 。  

四、应用题(每小题8分，共16分)
1.某商店以每条100元的价格购进一批牛仔裤，已知市场的需求函数为Q=400－2P，问怎样选择牛仔裤的售价P(元/条)，可使所获利润最大，最大利润是多少。  

2.设抛物线y2=2x与该曲线在 处的法线所围成的平面图形为D，求D的面积。  

五、证明题(4分)
证明：xln 。

高等教育自学考试综合练习五  
1.函数 y = +arccos 的定义域是( )
A. x<1 B.-3≤x≤1 C. (-3，1) D.{x|x<1}∩{x|-3≤x≤1}
2.下列函数中为奇函数的是（ ） A.y=cos3x B.y=x2+sinx C.y=ln(x2+x4) D.y=
3.设f(x+2)=x2-2x+3,则f[f(2)]=( ) A.3 B.0 C.1 D.2
4.y= ( ) A.y= B.y= C.y=log3 D.y=log3
5.设 =a,则当n→∞时，un与a的差是（ ）
A．无穷小量 B.任意小的正数 C．常量 D.给定的正数
6.设f(x)= ,则 =（ ） A．-1 B.0 C.1 D.不存在
7.当 时, 是x的( )
A.同阶无穷小量 B.高阶无穷小量 C.低阶无穷小量 D.较低阶的无穷小量
8. =( ) A. B.0 C. D.
9.设函数 在x=1处间断是因为( )
A.f(x)在x=1处无定义 B. 不存在 C. 不存在 D. 不存在
10.设f(x)= ,则f(x)在x=0处( )
A.可导 B.连续,但不可导 C.不连续 D.无定义
11.设y=2cosx,则 =() A.2cosxln2 B.-2cosxsinx C.-2cosx(ln2)sinx D.-2cosx-1sinx
12.设f(x2)= =( )
A.- B. C.- D.
13.曲线y= 处切线方程是( )
A.3y-2x=5 B.-3y+2x=5 C.3y+2x=5 D.3y+2x=-5
14.设y=f(x),x=et,则 =( )
A. B. + C. D. +xf(x)
15.设y=lntg ，则dy=( ) A. B. C. D.
16.下列函数中，微分等于 的是( )
A.xlnx+c B. ln2x+c C.ln(lnx)+c D. +c
17.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是( )
A.y=|x|,[-1,1] B.y= ,[1,2] C.y= ,[-1,1] D.y= ,[-2,2]
18.函数y=sinx-x在区间［０,π］上的最大值是( ) A. B.0 C.-π D.π
19.下列曲线有水平渐近线的是（ ） A.y=ex B.y=x3 C.y=x2 D.y=lnx
20. =( ) A.- B. - C- D.
21. ( ) A. B. (ln2)23x+c C. 23x+c D.
22. =( )
A.-cos +x+c B.- C. D.
23. =( ) A.1-cosx B.x-sinx+c C.-cosx+c D.sinx+c
24. x〔f(x)+f(-x)〕dx=( )
A.4 xf(x)dx B.2 x〔f(x)+f(-x)〕dx C.0 D.以上都不正确
25.设F(x)= ，其中f(t)是连续函数，则 =( )
A.0 B.a C.af(a) D.不存在
26.下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是( )
A. B. C. D.
27.设f(x)= ，则 =( ) A.3 B. C.1 D.2
28.当x> 时， =( )
A. B. +c C - D. - +c
29.下列积分中不是广义积分的是( )
A. B. C. D.
30.下列广义积分中收敛的是( )
A. B. C. D.
31.下列级数中发散的是( )
A. B. C. D.
32.下列级数中绝对收敛的是( )
A. B. C. D.
33.设 ，则级数 ( )
A.必收敛于 B.敛散性不能判定 C.必收敛于0 D.一定发散
34.设幂级数 在x=-2处收敛，则此幂级数在x=5处( )
A.一定发散 B.一定条件收敛 C.一定绝对收敛 D.敛散性不能判定
35.设函数z=f(x,y)的定义域为D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，则函数f(x2,y3)的定义域为
A.{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} B.{(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤1}
C.{(x,y)|0≤x≤1,-1≤y≤1} D.{(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1}
36.设z=(2x+y)y，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0
37.设z=xy+ ,则dz=( ) A.(y+ B.
C. (y+ D.
38.过点(1，-3，2)且与xoz平面平行的平面方程为( ) A.x-3y+2z=0 B.x=1 C.y=-3 D.z=2
39. dxdy=( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2
40.微分方程 的通解是( )
A. B. C.10x+10y=c D.10x+10-y=c  
二、41.求

42.设z(x,y)是由方程x2+y2+z2=4z所确定的隐函数，求  

43.求微分方程 -yctgx=2xsinx的通解.  

三、44.设y=ln(secx+tgx),求  

45.求  

46.求幂级数 的收敛半径.  

47.求  

四、48.求抛物线y=3-x2与直线y=2x所围图形的面积。  

49.某工厂生产某种产品，每批至少生产5(百台)，最多生产20(百台)，如生产x(百台)的总成本可得收入R(x)=20x-x2(万元)，问每批生产多少时，可使工厂获得最大利润。  

五、50.设f(x)在x0处连续。证明：在x0的某邻域(x0-δ,x0+δ)内，f(x)有界。

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