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初三数学求多项式最值问题十法

高俊元
多元多项式的最大（小）值是近几年数学竞赛的热点内容。这种题型涉及变量多，条件多，且形式新颖，解法灵活。同学们对这类问题常感到无从下手，本文将解决这类问题常用方法加以汇总，供大家参考。
一、配方法
例1. 已知x，y，z都是实数，且，则（ ）
A. 只有最大值 B. 只有最小值
C. 既有最大值又有最小值 D. 既无最大值又无最小值
解：

即m有最小值
而
三式相加

即m有最大值1
故应选C
二、参数法
例2. 若，则可取的最小值为（ ）
A. 3 B. C. D. 6
解：设
则
所以

∴当时
的值最大为，应选B
三、消元法
例3. 已知x，y，z为3个非负实数且满足：，，设，s的最大值与最小值的和为_________。
解：由 得
则，所以s的最大值为3，最小值为2，其和为5。
四、分类讨论法
例4. 设均为正整数，且，则当的值最大时，的最小值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
解：由，知

由<1>得，从而
得，与题设矛盾
由<2>可取
使取到最大值，且也可取到最大值，此时取可全部满足条件，因而的最小值为。
五、枚举法
例5. 设整数a、b、c满足的个位数依次为x、y、z，当为最小时，求乘积abc的最大值。
解：依已知需把x、y、z、a、b、c求出

∴（x、y、z）有10种可能：
（1，8，7），（1，8，4），（1，8，5），（1，7，4），（1，7，5），（1，4，5），（8，7，4），（8，7，5），（8，4，5），（7，4，5）
那么的值依次为：

故的最小值是
此时（x，y，z）＝（1，8，4）或（1，8，5）
相应的或
故abc的最大值是10
六、等值代换法
例6. 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足那么的最大值是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
解：
，即
代入
得

等号成立当且仅当时，此时

的最大值是，应选B。
七、放缩法
例7. 设为自然数，且，又，则的最大值为__________。
解：由题设有
同理

的最大值为19，取
则，从而
取，则

从而，依次可得符合条件的7个数为19，20，22，23，24，25，26
故知所求最大值为61
八、和差代换法
例8. 实数x、y、z满足，则z的最大值是________。
解：设，代入已知式可得

由<1>得代入<2>得：

化简得
即
解得
故z的最大值为
九、分析判断法
例9. 已知a、b、c都是整数，且，则的最小值是_________。
解：由知
a、b、c中必有两负一正
不妨设
此时

∵a、b、c为整数
∴当时，a取最大值1990
的最小值是：

十、逐步调整法
例10. 已知都是正整数，且，若的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于________。
解：因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故的最小值和最大值是存在的。
不妨设，若
则，且

所以，当时，可以把逐步调整到1，这时将增大；
同样地，可以把逐步调整到1，这时将增大。于是，
当均为1，时，取得最大值
即
若存在两个数，使得
，则

这说明在中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时将减小。
所以，当取到最小时，中任意两个数的差都不大于1。
于是当
时
取得最小值
即
故A＋B＝494