2015年全国高中数学联合竞赛(四川初赛).doc

2015年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月17日下午14：3016：30）题 目一二三总成绩13141516得 分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分. 2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线.得 分评卷人 一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、已知n为正整数，二项式的展开式中含有项，则n的最小值为 【 】A、4 B、5 C、6 D、72、在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，则的大小为 【 】A、B、C、D、3、已知二面角的大小为30，则由平面上的圆在平面上的正射影得到的椭圆的离心率为 【 】A、B、C、D、4、记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 【 】A、B、C、D、25、已知正三棱锥P-ABC的底面ABC是正三角形，该三棱锥的外接球的球心O满足，则二面角的余弦值为 【 】A、 B、C、D、6、设质数p，满足存在正整数x，y使得，则符合条件的质数p的个数为 【 】A、1 B、2C、3D、4得 分评卷人 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、为虚数单位，复数，则= .8、若，则 .9、已知点P满足，则到x轴的距离的点P的概率是 .10、设，则的值是 .11、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PA=2，PC=，则 .12、对任意正整数n，定义函数如下：，且当时，其中是不同的质数.若记为12的全部不同正因数的集合，则 .得 分评卷人 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知数列满足：成等差数列，且对任意的正整数n，均有成立，其中是数列的前n项和.（1）求； （2）求数列的通项公式.14、已知.（1）记，求在上的最大值和最小值；（2）求的值.15、过双曲线的右支上任意一点作一直线与两条渐近线交于A、B，若P是AB的中点.（1）求证：直线与双曲线只有一个交点；（2）求证：OAB的面积为定值.16、已知a为实常数，函数.（1）记的导函数为，求在上的单调区间；（2）若在的极大值和极小值恰好各有一个，求实数a的取值范围.