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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第五节,一、有向曲面及曲面元素投影,二、对坐标曲面积分概念与性质,三、对坐标曲面积分计算法,四、两类曲面积分联络,对坐标曲面积分,第十一章,第1页,对坐标曲面积分,一、基本概念,观察以下曲面侧(假设曲面是光滑),曲面分,上,侧和,下,侧,曲面分,内,侧和,外,侧,第2页,曲面分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,经典,双侧曲面,第3页,经典单侧曲面:,莫比乌斯带,第4页,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面经典),第5页,曲面法,向量指向,决定曲面,侧,.,决定了侧曲面称为,有向曲面,.,曲面投影问题:,类似地可定义,第6页,其方向用,法向量指向,方向余弦,0 为前侧,0 为右侧,0 为上侧,0 为下侧,外侧,内侧,设,为有向曲面,侧要求,指定了侧曲面叫,有向曲面,表示:,其面元,在,xOy,面上投影记为,面积为,则要求,类似可要求,第7页,二、概念引入,实例:,流向曲面一侧流量.,第8页,第9页,1.分割,则该点流速为 .,法向量为 .,第10页,2.求和,第11页,3.取极限,第12页,设,为光滑有向曲面,在,上定义了一个,意分割,和在局部面元上,任意取点,分,记作,P,Q,R,叫做,被积函数,;,叫做,积分曲面,.,或,第二类曲面积分,.,以下极限都存在,向量场,若对,任,则称此极限为向量场,A,在有向曲面上,对坐标曲面积,三.定义：,第13页,引例中,流过有向曲面,流体流量为,称为,Q,在有向曲面,上,对,z,x,曲面积分;,称为,R,在有向曲面,上,对,x,y,曲面积分.,称为,P,在有向曲面,上,对,y,z,曲面积分;,若记,正侧,单位法向量为,令,则对坐标曲面积分也常写成以下向量形式,第14页,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用,表示,反向曲面,则,第15页,四、对坐标曲面积分计算法,第16页,第17页,注意,:,对坐标曲面积分,必须注意曲面所取侧.,第18页,这就是把对坐标曲面积分化成二重积分计算公式,概括为,：,代：将曲面方程表示为二元显函数，然后代入,被积函数，将其化成二元函数,投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如,dxdy,）,中两个变量同名坐标面上（如,xoy,面）,定号：由曲面方向，即曲面侧确定二重积分,正负号,一代、二投、三定号,第19页,注,积分曲面方程必须表示为,单值显函数,不然分片计算，结果相加,确定正负号标准：,曲面取,上,侧、,前,侧、,右,侧时为,正,曲面取,下,侧、,后,侧、,左,侧时为,负,例1 计算,所截得在第一卦限部分前侧,第20页,解,第21页,解,例2,第22页,思索:,下述解法是否正确:,依据对称性,第23页,例3 计算,平面,x,=0,y,=0,z,=0,x,+,y,+,z,=1 所围成,空间区域整个边界曲面外侧,o,x,y,z,解,分成四个部分,左侧,下侧,后侧,上侧,第24页,同理,第25页,同理,注,对坐标曲面积分对称性,被积表示式含有轮换对称性，即将被积,表示式中全部字母按,x,y,z,次序代换后原式不变,积分曲面及其侧含有对称性，这是指曲面,在各坐标面上投影区域均相同，且配给,符号也相同,第26页,五、两类曲面积分之间联络,第27页,第28页,两类曲面积分之间联络,第29页,向量形式,第30页,例4,解,第31页,第32页,注,此例解法含有普遍性:同一投影法,第33页,六、小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,曲面侧,“一投,二代,三定号”,第34页,思索题,思索题解答,此时 左侧为,负,侧，,而 左侧为,正,侧.,第35页,练 习 题,第36页,第37页,练习题答案,第38页,
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