资源描述
7．4课题学习：镶嵌
一、教学目标
1．会用正多边形无缝隙、不重叠地覆盖平面。
2．让学生在应用已有的数学知识和能力，探索和解决镶嵌问题的过程中，感受数学知识的价值，增强应用意识，获得各种体验。
二、教学活动的建议
探究性活动是一种心得学习方式，它不是老师讲授、学生听讲的学习方式，而是学生自己应用已有的数学知识和能力，去探索研究生活中有趣而富有挑战问题的活动过程。
建议本节教学活动采用以下形式：
（1） （1） 学生自己提出研究课题；
（2） （2） 学生自己设计制订活动方案；
（3） （3） 操作实践；
（4） （4） 回顾和总结。
教学活动中，教师提供必要的指点和帮助。引导学生对探究性活动进行反思，不仅关注学生是否能用已有的知识去探究和解决问题，并更多地关注学生自主探究、与他人合作的愿望和能力。
三、关于镶嵌
1. 1. 镶嵌，作为数学学习的一项探究性活动，主要有以下两个方面的原因：
（1） 如果用“数学的眼光”观察事物，那么用正方形的地砖铺地，就是“正方形”这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合。
（2） “几何“中研究图形性质时，也常常要把图形拼合。比如，两个全等的直角三角形可以拼合成一个等腰三角形，或一个矩形，或一个平行四边形；又如，六个全等的等边三角形可以拼合成一个正六边形，四个全等的等边三角形可以拼合成一个较大的等边三角形等。
2. 2. 各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360°。
（1）用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面镶嵌。比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌，而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°，所以这些正多边形都不能镶嵌。
（2）用两种或三种正多边形镶嵌，详见163～166页内容。
（3）用一种任意的凸多边形镶嵌。
从正多边形镶嵌中可以知道：只要研究任意的三角形、四边形、六边形能否作平面镶嵌，而不必考虑其他多边形能否镶嵌（这是因为：假如这类多边形能作镶嵌，那么这类正多边形必能作镶嵌，这与上面研究的结论矛盾）
三角形小结与复习
考点例析
1. 确定三角形的个数
图1
例1（2010年娄底市）在图1所示的图形中，三角形的个数共有（ ）.
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析：根据三角形的定义，只要找到图形中不在同一直线上的三个点，连接后即可构成三角形.图1中共有四个点，其中不在同一直线上的三个点有三种情况，因此共3个三角形，分别是△ABC、△ABD、△ACD. 故应选C.
2. 三角形三边关系的应用
图2
例2 （2010年自贡市）为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16 m，PB=12 m，那么AB间的距离不可能是（ ）.
A．5 m B．15 m C．20 m D．28 m
解析：根据三角形三边的关系，可知AB的长应大于PA与PB的差而小于两者的和，即AB的长度大于4 cm小于28 cm，故应选D.
例3 （2010年山西省）现有四根木棒，长度分别为4 cm，6 cm，8 cm，10 cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：从四根木棒中任取三根有四种情况，分别是：4 cm，6 cm，8 cm；4 cm，6 cm，10 cm；4 cm，8 cm，10 cm；6 cm，8 cm，10 cm.而4+6=10，不能组成三角形.故应选C.
点评：判断三条线段能否组成三角形，可取最短的两条线段相加，如果和大于第三条线段，则可以组成三角形，否则不能组成三角形.
3.求三角形的三边
图3
D
C
B
A
例4 已知一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长.
解析：如图3，设腰AB=x cm，底BC=y cm，D为AC边的中点.
根据题意，得x+x＝12，且y+x＝21；或x+x＝21，且y+x＝12.
解得x＝8，y＝17或x＝14，y＝5.
显然当x=8，y=17时，8＋8＜17，不符合三角形三边关系.
故此三角形的腰长是14 cm.
点评：本题常因考虑问题不全面，只求出两种结果中的一种，或求出结果后忘记考虑三边关系.
4.三角形的内角与外角
例5 （2010年郴州市）如图4，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 度．
图4
解析：设∠1的邻补角为∠3，∠2的邻补角为∠4.
又根据三角形内角和等于180°，有∠3+∠4+90°=180°，即∠3+∠4=90°.
所以∠1+∠2=360°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°.
点评：本题也可以利用三角形的内角和与四边形的内角和进行求解.
5.多边形的内角和与外角和
例6 （2010年楚雄市）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
解析：设这个多边形的边数为n，则有180（n-2）=2×360，解得n=6.
所以这个多边形的边数为6.
点评：解有关多边形的内角和及边数的计算问题，通常设出边数，然后根据条件列出方程来求解.
6.平面镶嵌
例7 （2010年湛江市）小亮的父亲想购买同一种大小一样、形状相同的地板铺设地面，小亮根据所学知识告诉父亲，为了能够做到无缝、不重叠地铺设，购买的地板砖形状不能是（ ）.
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
解析：能用来进行平面镶嵌的多边形，必须满足其一个内角的度数能整除360，因此正三角形、正方形和正六边形都可以用来进行平面镶嵌，正五边形不可以，故应选C.
误区点拨
误区一：考虑不周致错
图1
例1 指出图1中有几个三角形，并用符号表示出来.
错解：有4个三角形，分别是△ABD、△ADE、△AEC和△ABC.
剖析：根据三角形的构成情况分类，可分为单个三角形、由两个三角形组成的三角形、由三个三角形组成的图形，这样就会不重不漏的数清三角形的个数了.
正解：有6个三角形，分别是△ABD、△ADE、△AEC，△ABE、△ACD和△ABC.
误区二：忽视三角形两边的差应小于第三边
例2 两根木棒的长分别是7 cm和10 cm，再选择一根木棒，将它们钉成一个三角形，第三根木棒的长有什么限制？
错解：由三角形两边的和应该大于第三边，所以已知两根木棒的长和应大于第三根木棒的长，即第三根木棒的长应小于17 cm.
剖析：三角形的三边关系除了满足两边之和大于第三边外，还有两边之差小于第三边，而错解只注意到了其中一个方面.
正解：由三角形两边的和应该大于第三边，所以已知两边的和应大于第三边，即第三根木棒的长应小于17cm.又由两边之差小于第三边，所以第三根木棒应大于3cm，所以第三根木棒大于3cm且小于17cm.
误区三：忽视三角形的高线在三角形外部的情况
A
B
C
D
图2
例3 三角形一边上的高与另两边的夹角分别为62°、28°，则这个三角形按角分类是 ___________.
错解：如图2，已知CD是AB边上的高，∠BCD=62°，∠ACD=28°，则∠ACB=
∠ACD+∠BCD=62°+28°=90°，所以△ABC是直角三角形.
A
B
C
D
图3
剖析：错解只考虑了CD在三角形内部的情况，而没有考虑到高在三角形外部的情况.
如图3，当CD在三角形外部时，∠DAC=90°－28°=62°，
所以∠BAC=180°-62°=118°，即△ABC是钝角三角形.
正解：直角三角形或钝角三角形.
误区四：忽视分类致错
例4 将一个多边形截去一个角后，变成的另一个多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是（ ）.
A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
错解：设截去一个角后，多边形的边数为n.
则有180（n-2）=1 620，解得n=11.
所以原多边形的边数为12. 故应选C.
剖析：n边形截去一个角后，得到的可能是n-1边形，也可能是n边形，或n+1边形，而错解只考虑了其中的一种情况.
正解：截去一个角后，多边形的边数为11，所以原多边形的变数可能为10、11、12.故应选D.
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