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15.1 轴对称图形
第1课时 认识轴对称图形
1.使学生初步认识轴对称图形，明白对称的含义，能找出轴对称图形的对称轴．
2．通过观察、思考和动手操作，培养学生多种能力，渗透美的教育．
重点
理解轴对称图形的概念及性质，会找对称轴．
难点
准确找全对称轴．
一、创设情境，导入新课
你们看这些图形好看吗？观察这些图形有什么特点？
(图形的左边和右边相同．)
你能举出一些特点和上图一样的物体图形吗？(人体、昆虫、房屋、衣服……)
这些图形从哪儿可以分为左边和右边？请同学到前面来指一指．(指出中间的那条线．)
你怎么知道图形的左边和右边相同？(看出来的……)
还有别的办法吗？用手中蝴蝶图形动手试一试，互相讨论．(对折，图形左右两边完全合在一起，也就是完全重合．)
你能不能很快剪出一个图形，使左右两边能完全重合？可以讨论，也可以看一看其他同学是怎么剪的．(把纸对折起来，再剪．)
二、合作交流，探究新知
轴对称图形的概念．
(1)轴对称图形和对称轴的定义．
以剪出的图形为例，贴在黑板上．
问：你们剪出的这些图形都有什么特点？
(沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合．)
师：像这样的图形就是轴对称图形．(板书课题)
折痕所在的这条直线叫做对称轴(画在图上)．
问：现在谁能准确说出什么是轴对称图形？什么是对称轴？
板书：如果一个图形沿一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，折痕所在的这条直线叫做对称轴．
(2)加深理解概念．
以小组为单位，说一说，你刚才剪的图形叫做什么图形？为什么？画出自己剪的图形的对称轴．注意对称轴是一条直线，两端可以无限的延长．
(3)巩固概念．(投影)
①判断下面的图形是不是轴对称图形？为什么？用小棒摆出对称轴．
生：天安门、奖杯、汽车图是轴对称图形，金鱼图不是轴对称图形，无论怎样折，两侧都不能完全重合，因此也就没有对称轴．
②拿出从方格纸上剪下来的几何图形，折一折，看一看哪些是轴对称图形，画出它们的对称轴．个人完成后，按顺序摆放在桌子上，同桌互查，再指名按顺序说．
投影出示，折一折，说明是否是轴对称图形，并在( )里写明有几条对称轴．
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
学生边回答老师边填在投影片上，并用小棒摆出对称轴．
【归纳总结】1.任意三角形不是轴对称图形．
2.等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴．
3.任意梯形不是轴对称图形．
4.正方形是轴对称图形，有四条对称轴．(学生再折一折，老师示范．)
5.平行四边形不是轴对称图形．(再折一折，沿任何一条直线折都不重合．)
6.长方形是轴对称图形，有两条对称轴．(有四条对不对，折一折．)
7.圆是轴对称图形，有无数条对称轴．(在你画的圆上至少画出三条对称轴．)
8.等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴．
三、运用新知，深化理解
例1 下列图形中不是轴对称图形的是( )
A B C D
分析：解决此类问题一定要紧扣轴对称图形的定义去判断，只要能找出这个图形的对称轴，那么这个图形就是轴对称图形．A、B、D能找出对称轴，只有C不能找到对称轴．
【归纳总结】判断轴对称图形的方法：根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线对折，如果直线两边的部分能够完全重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则不是轴对称图形．注意尝试多角度来观察图形和对折图形．
例2 如图所示，哪一组的右边图形与左边图形成轴对称？
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
分析：根据轴对称的意义，经过翻折，看两个图形能否完全重合，若能重合，则两个图形成轴对称．
解：(4)(5)(6)．
【归纳总结】动手操作或结合轴对称的概念展开想象，在脑海中尝试完成一个动态的折叠过程，就会得到结论．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P120练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
(1)决定一个图形是不是轴对称图形具备什么条件？有几条对称轴？
(2)成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定成轴对称吗？为什么？
(3)本节课你学到哪些知识？有什么体会？
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P124～125习题15.1第1，2题．
第2课时 轴对称的性质及作轴对称图形
1．通过具体实例认识轴对称，探究它的基本性质和定义．
2．能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．
3．能利用轴对称进行图案设计．
重点
轴对称的定义及轴对称作图．
难点
利用对称变换设计图案．
一、创设情境，导入新课
[活动1]
问题
(1)在一张半透明纸的左边部分，画出左手掌，如何由此得到相应的右手掌印？
(2)自己动手在一张纸上画一个你最喜欢的图形，将这张纸折叠，描图后，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么？
学生分成若干小组，选出代表发言，教师倾听学生的发言．
学生动手画左手印，教师指导如何画出右手印，并强调将纸对折后描图．
学生动手画图，教师观察指导，展示学生作品，听取学生的评价．
二、师生互动，探究新知
[活动2]
如图，用刻度尺量一量图中的A，B，C，D点到对称轴的距离分别是多少厘米？(保留一位小数)
认真度量，结果填在书上，你发现了什么？
投影订正填后的结果．
A点到对称轴的距离是0.6厘米．
B点到对称轴的距离是1.2厘米．
C点到对称轴的距离是1.2厘米．
D点到对称轴的距离是0.6厘米．
问：根据测量的结果你发现了什么？
(A，D两点及B，C两点都分别在对称轴两侧．A，D两点到对称轴的距离相等，都是0.6厘米；B，C两点到对称轴的距离也相等，都是1.2厘米．)
问：根据度量结果，你们能总结出轴对称图形的性质吗？
板书：在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的距离相等．
验证性质．
量一量五角星对称轴两侧相对应的点到对称轴的距离是否相等．
[活动3]
问题
如果有一个图形和一条直线，如何作出这个图形关于这条直线对称的图形？
出示例题
例1 如图①，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．
图①
图②
提出以下思考问题：
(1)△ABC关于直线l的轴对称图形是什么形状？
(2)在△ABC上，取哪几个点作出其关于l的对称点？
(3)如何作一个已知点的关于直线的对称点？
画出对称图形△A′B′C′，如图②.
教师逐步提出问题，师生共同思考分析，学生尝试作图．
师生共同总结作图方法及步骤，通过折叠的方法加以验证．
在此基础上，归纳出作一般平面图形的轴对称图形的方法．
在学生作图中，教师应重点关注：
(1)在△ABC上，是否取了A，B，C三个顶点？
(2)是否掌握了作一点关于直线的对称点的方法？
(3)尺规作图是否规范？
[活动4]
欣赏和设计
自己设计一个轴对称图案．
学生先欣赏轴对称图案，然后自己设计图案．
教师指导，学生交流，用投影展示学生的作品．
三、运用新知，深化理解
例2 如图中两个四边形关于某条直线对称，根据图形提供的条件求x，y.
分析：由轴对称的性质，得到两个图形全等，从而有对应角相等，对应边相等．
解：因为两个四边形关于某条直线对称，∠A＝∠E＝120°，∠D＝∠F＝100°，所以∠B＝∠H＝70°，AB＝EH＝5，所以y＝70°，x＝5.
【归纳总结】利用轴对称的性质求线段或角的方法：先根据轴对称的特征确定两个图形的对应边、对应角，然后运用轴对称的性质：对应边相等，对应角相等，把要求的边或角与已知对应边或角建立关系，从而求出待求的线段或角．
例3 如图所示，以AB为对称轴，画出已知图形的轴对称图形．
分析：作出点C，D，E关于直线AB的对称点C′，D′，E′，然后顺次连接即可．
解：如图所示.
【归纳总结】轴对称的基本作图步骤是：(1)先找出已知图形中能够确定形状的关键点，如顶点、端点或中点等；(2)分别过这些关键点向对称轴作垂线，并延长至另一侧，使其两侧的线段相等，得到的点为这些关键点的对称点；(3)顺次连接作出的点，即可得到已知图形的轴对称图形．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P122练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P125习题15.1第3题．
第3课时 用坐标表示轴对称
1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．
2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．
重点
用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．
难点
找对称点的坐标之间的关系．
一、创设情境，导入新课
[活动1]
问题
在如图所示的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律，再和同学讨论一下．
已知点
A(2，－3)
B(－1，2)
C(－6，－5)
D(，1)
E(4，0)
关于x轴
的对称点
A′(___， ___)
B′(___ , __)
C′(___ , __)
D′(___，___)
E′(___，___)
关于y轴
的对称点
A″(___，___)
B″(___，___)
C″(___，___)
D″(___，___)
E″(___，___)
再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律．
(1)你能在图中描出这些点关于x轴或y轴的对称点吗？
(2)观察关于x轴对称的点的坐标与原坐标之间有什么变化规律？
(3)观察关于y轴对称的点的坐标与原坐标之间有什么变化规律？
教师引导学生在图中找某一点的对称点，作出示范．
学生按教师教给的方法逐一找到A，B，C，D，E的符合条件的点坐标．
教师用课件动画闪烁表示每对对称点的位置状态．
学生观察每对对称点坐标之间哪个坐标值变了，哪些没有变，变化的是符号还是绝对值？然后说出这些具体情况．
在学生充分发表各自观点的基础上教师总结出结论：
点(x，y)关于x轴的对称点的坐标是(x，－y)，关于y轴的对称点的坐标是(－x，y)．
二、合作交流，探究新知
[活动2]
问题
如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)，因此四边形ABCD的顶点A，B，C，D关于y轴对称的点分别为A′(__，__)，B′(__，__)，C′(__，__)，D′(__，__)，依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A′B′C′D′.
(1)你能快速写出点A，B，C，D关于x轴的对称点A′，B′，C′，D′的坐标吗？
(2)你能快速写出点A，B，C，D关于y轴的对称点A″，B″，C″，D″的坐标吗？
(3)连接你所得到的对称点，观察会得到怎样的图形？
学生先找出关于x轴的对称点坐标．
学生在黑板上描出对称点的位置．
让学生顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′以及A″B″，B″C″，C″D″，D″A″.
学生思考：如何作已知图形关于坐标轴的轴对称图形．
教师给出总结．
[活动3]
问题
如图所示．
(1)分别写出△PQR三个顶点的坐标__________，__________，__________．
(2)你能找出点P，Q，R关于直线x＝1的对称点吗？
(3)你能找出点P，Q，R关于直线y＝－1的对称点吗？
学生在图中标出三个点的坐标．
学生在坐标系中找到三个点的对称点的位置，并标出坐标．
让学生思考关于直线x＝1的对称点变化的坐标是哪个？怎样变化的？学生小组讨论．
对于关于直线y＝－1的情况作同样的处理．
教师引导学生从方向和数量上考虑，最后归纳结论：
P(x，y)关于直线x＝1的对称点的坐标是(2－x，y)；关于直线x＝m的对称点的坐标是(2m－x，y)；关于直线y＝－1的对称点坐标是(x，－y－2)；关于直线y＝－n的对称点坐标是(x，－y－2n)．
三、运用新知，深化理解
例 在平面直角坐标系中，点A关于x轴对称的点的坐标为(7x＋6y－13，y＋x－4)，点A关于y轴对称的点的坐标为(4y－2x－2，－6x－4y＋5)，求点A的坐标．
分析：设点A的坐标为(a，b)，则它关于x轴的对称点为A′(a，－b)，关于y轴的对称点为A″(－a，b)，即A′与A″的横、纵坐标分别互为相反数．据此可列方程组求出x，y的值．
解：由题意，得
解得所以点A的坐标为(－8，3)．
【归纳总结】解答这类题的关键是弄清同一点关于两坐标轴对称的点的横、纵坐标之间的关系，再据此列方程或方程组求解．
补充练习：
1．分别写出点A(2，－1)，B(－1，－2)，C(0，4)关于直线x＝2和直线y＝－3的对称点坐标．
2．画出△ABC关于直线x＝1的对称三角形．
学生练习，并板演练习第1题和第2题．
教师要关心学生做题是不是迅速准确，图形是不是画得规范．
学生说出画法，并画出对称三角形．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P124练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
通过本节课的学习你懂得了如何画已知点的对称点吗？
你能用自己所理解的话描述一下吗？
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P125～126习题15.1第4～6题．
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